Hyperbolinen geometria

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Hyperbolic triangle.svg
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Hyperbolisen geometrian "vastakohdan" voidaan monien ominaisuuksien puolesta ajatella olevan pallo- eli elliptisen geometrian, euklidisen geometrian jääden rajatapauksena näiden kahden väliin.

Hyperbolinen geometria eroaa perinteisestä, euklidisesta, ääretöntä, tasaista tasoa käsittelevästä geometriasta monin tavoin. Muun muassa kolmion kulmien summa on aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.

Yhdensuuntaiset suorat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet eukidisessa geometriassa yhdensuuntaisille suorille tunnetut asiat eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat \lVert BP \rVert ovat kohtisuorassa eli suoran ja etäisyys janan välinen kulma on 90°. Hyberpolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.

Kolmiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

.Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa:

\cosh c=\cosh a\cosh b\,.

missä funktiocosh on hyperbolinen funktio,minkä vastine on trigonometriassa cos funktio.Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivute "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa Sinilause:

\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c}.

Kosinilause:

\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b \cos C,\,

tai

\cos C= -\cos A\cos B+\sin A\sin B \cosh c,\,

erikoistapauksessa kun C on suorakulma,niin silloin

\sin A=\frac{\sinh a}{\,\sinh c\,}.\,


\cos A=\frac{\tanh b}{\,\tanh c\,}.\,


\tan A=\frac{\tanh a}{\,\sinh b\,}.\,

Euklidisissa kolmioissa on kulmien summa π(=180°)radiaaneissa,mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle π.Hyperbolisessa geometriassa ideaali kolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.

Ympyrät, levyt ja pallot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin 2πr. Se saadaan kaavasta:

2\pi R \sinh \frac{r}{R} \,.

Suljetun kiekon pinta-ala on:

2\pi R^2 (\cosh \frac{r}{R} - 1) \,.

Pallon pinta-ala on:

4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} \,.

Suljetun kuulan tilavuus:

4\pi R^2 \sinh^2 \frac{r}{R} \,.

(n-1)-ulotteinen pallon mitta

\Omega_{n} R^{n-1} \sinh^{n-1} \frac{r}{R} \,

,missä

 \Omega_{n}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left (\frac{n}{2} \right )} \,

ja \Gamma \, on gammafunktio

Suljetun n-ulotteisen kuulan mitta:

\Omega_{n} R^{n-1} \int_0^r \sinh^{n-1} \frac{r}{R}dr \,.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kahden tuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.

Hyperbolisen geometrian malleja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbolisessa geometriassa on neljä yleisesti käytettyä mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puoli-taso –malli ja Hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]