Hyperbolinen geometria

Hyperbolinen geometria käsittelee kaksiulotteista, negatiivisesti kaarevaa pintaa. Pinta muistuttaa muodoltaan hieman satulaa, ja joskus puhutaankin tässä yhteydessä satulapinnasta. Toinen esimerkkipinta on torvi. Monien ominaisuuksien puolesta hyperbolisen geometrian "vastakohtana" voidaan pitää pallo- eli elliptistä geometriaa, joilloin euklidinen geometria on näiden kahden väliin jäävä rajatapaus.

Hyperbolinen geometria eroaa monin tavoin perinteisestä euklidisesta geometriasta, joka käsittelee ääretöntä tasaista tasoa. Hyperbolisella pinnalla kolmion kulmien summa on esimerkiksi aina vähemmän kuin 180 astetta, ja suoralle voidaan yksittäisen pisteen läpi piirtää ääretön määrä sille yhdensuuntaisia suoria.

Hyperbolinen pinnan voi yleistää myös kahta useampaan ulottuvuuteen.

Yhdensuuntaiset suorat

Koska hyperbolisessa geometriassa voidaan suoran ulkopuolisen pisteen kautta piirtää useampi kyseisen suoran kanssa yhdensuuntainen suora, ei euklidisen geometrian paralleeliaksiooma ole voimassa. Tästä seuraa, että monet euklidisen geometrian lauseet yhdensuuntaisille suorille eivät päde hyperbolisessa geometriassa. Muun muassa suorien m ja n ei täydy olla yhdensuuntaisia keskenään, vaikka ne olisivat molemmat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Lisäksi suorasta l vakioetäisyydellä olevat pisteet eivät muodosta suoraa hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisessa geometriassa kaikki yhdensuuntaisten suorien väliset etäisyysjanat $\lVert BP\rVert$ ovat kohtisuorassa eli suoran ja etäisyysjanan välinen kulma on 90°. Hyberbolisessa geometriassa kulmien suuruus vaihtelee.

Kolmiot

Jos suorakulmaisessa kolmiossa a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, niin hyperbolisessa geometriassa pätee yhtälö:

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

missä funktio cosh on hyperbolinen funktio, jonka vastine trigonometriassa on cos-funktio. Kaikilla trigonometrisillä funktioilla on vastaavat funktiot hyperbolisessa geometriassa.

Euklidisen geometrian tuloksille on olemassa vastineet hyperbolisessa geometriassa. Olkoon hyperbolisen kolmion sivut "a", "b" ja "c" ja niitä vastaavat kulmat "A", "B" ja "C". Silloin on voimassa Sinilause:

${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}.$

sekä Kosinilause:

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,\,$

tai

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c.$

Erikoistapauksessa kun C on suorakulma, niin kosinilauseesta seuraavat yhtälöt:

$\sin A={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,$

$\cos A={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,$

$\tan A={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}.\,$

Euklidisella tasolla kolmion kulmien summa on aina 180° ( radiaaneissa $\pi$), mutta hyperbolisessa kolmioissa kulmien summa on aina alle 180°. Hyperbolisessa geometriassa ideaalikolmioksi kutsutaan kolmiota, jonka kulmien summa on 0°.

Ympyrät, levyt ja pallot

Hyperbolisessa geometriassa ympyrän piiri on suurempi kuin $2\pi r$, missä $r$ on kyseisen ympyrän säde.

Olkoon $R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}$, missä $K$ on pinnan Gaussin kaarevuus. Tällöin ympyrän piiri saadaan kaavasta:

$2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}.$

Suljetun kiekon pinta-ala on taas:

$2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)\,.$

Pallon pinta-ala:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

Suljetun kuulan tilavuus:

$4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}\,.$

(n-1)-ulotteinen pallon mitta:

$\Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}},\,$

missä

$\Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,$

ja $\Gamma \,$ on gammafunktio.

Suljetun n-ulotteisen kuulan mitta:

$\Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}dr\,.$

Historia

Kahdentuhannen vuoden ajan monet matemaatikot, kuten Proklos, Ibn al-Haitham, Omar Khaijam, Nasir al-Din Tusi, Witelo, Gersonides, Alfons, ja myöhemmin Saccheri, John Wallis, Lambert ja Legendre yrittivät todistaa paralleeliaksioomaa. Koska heidän yrityksensä epäonnistuivat, alkoivat matemaatikot tutkia tilannetta, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa. Aluksi Gauss, Bolyai ja Lobatševski kehittivät epäeuklidisen geometrian aksiomaattisesti, ilman analyyttisiä malleja. Perusteet hyperbolisen geometrian analyyttiselle tulkinnalle loivat Euler, Monge ja Gauss, ja vuonna 1837 Lobatševski ehdotti negatiivisesti kaarevaa pintaa malliksi hyperboliselle geometrialle.

Filosofinen merkitys

Hyperbolisen geometrian keksimisellä oli huomattavia filosofisia vaikutuksia. Aikaisemmin monet filosofit, muun muassa Hobbes ja Spinoza, olivat pitäneet euklidista geometriaa ehdottoman varmana ja samalla välttämättömänä totuutena, joka ei voisikaan olla toisin. Niinpä Spinoza kirjoitti Etiikka-teoksensa Eukleideen antaman esikuvan mukaisesti yrittäen todistaa kaikki väittämänsä "geometrisella menetelmällä" muutamien määritelmien ja aksioomien avulla. Myös Hobbes piti geometriaa ainoana toistaiseksi luotuna varsinaisena tieteenä. Jo ennen heitä oli Tuomas Akvinolainen suorastaan väittänyt, ettei edes Jumala voi esimerkiksi tehdä kolmion kulmien summaa muuksi kuin kaksi suoraa kulmaa. Tosin Hume ei pitänyt geometriaa yhtä varmana kuin aritmetiikkaa ja algebraa, koska hänen mukaansa emme voi olla varmoja sen aksioomien totuudesta.

Kant päätyi teoksessaan Puhtaan järjen kritiikki siihen käsitykseen, että avaruus, euklidisen geometrian mukaisena, ovat välttämättömiä mielteitä ja ettemme voi kuvitellakaan, ettei niitä olisi, ja että tämän vuoksi euklidinen geometria, vaikka onkin synteettinen, on kuitenkin a priori ja soveltuu välttämättömästi kaikkiin havaitsemiimme ilmiöhin. Kuitenkaan hänen mukaansa ei ole mitään pätevää syytä olettaa, että se soveltuisi myös tosiolevaiseen, olioihin sinänsä.

On väitetty, että Gauss ei pitkään aikaan julkaissut ajatuksiaan hyperbolisesta geometriasta, koska hän pelkäsi "boiotialaisten kapinaa", joka olisi tuhonnut hänen maineensa "matemaatikkojen ruhtinaana" (lat. princeps mathematicorum). Ajoittain hän epäili itsekin, olivatko hänen ajatuksensa lainkaan terveellä pohjalla. Vähitellen, erityisesti Bolýain, Lobatševskin ja Riemannin ansiosta hänen ajatuksensa tulivat kuitenkin hyväksytyiksi, ja niillä oli suuri vaikutus käsityksiin matemaattisesta varmuudesta, analyyttiseen filosofiaan ja logiikkaan. Voitiin osoittaa, että hyperbolinen geometria on sisäisesti yhtä ristiriidaton kuin euklidinenkin, ja lisäksi on vielä muitakin täysin ristiriidattomia mahdollisuuksia. Näin ollen kysymys todellisen fysikaalisen avaruuden geometrian luonteesta jäi fysiikan ratkaistavaksi.

Esimerkiksi Bertrand Russell päätyi käsitykseen, että "geometria" on yhteisnimitys kahdelle täysin erilaiselle tutkimuskohteelle. Toisaalta on deduktiivinen geometria, joka päättelee loogisten päättelysääntöjen mukaan, mitä annetuista aksioomeista seuraa, kysymättä ovatko nämä aksioomat sinänsä "tosia". Siinä eivät geometrian oppikirjoissa käytetyt kuviotkaan ole välttämättömiä, joskin niitä voidaan käyttää asian havainnollistamiseksi. Toisaalta on geometria fysiikan osana, esimerkiksi yleisessä suhteellisuusteoriassa. Sellaisena se on mittauksiin perustuva empiirinen tiede. Toisin kuin Kant väitti, näistä edellinen on siis a priori mutta ei synteettinen, kun taas jälkimmäinen on synteettinen mutta ei a priori.

Hyperbolisen geometrian malleja

Pseudopallo (Traktroidi)

Poincarén kiekkomallissa hyperbolinen taso on kuvattu kiekolle. Hyperbolisen tason suoria vastaavat sellaiset ympyränkaaret, jotka leikkaavat kiekkoa rajoittavan ympyrän kohtisuorasti. Kuvassa sinisellä merkitty suora ja joukko sen ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkevia "yhdensuuntaisia" suoria, jotka eivät sitä leikkaa.

David Hilbert todisti vuonna 1901, että hyperbolista tasoa ei voida isometrisesti upottaa kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen $\mathbf {R} ^{3}$, toisin sanoen avaruudessa avaruudessa $\mathbf {R} ^{3}$ ei ole sellaista pintaa, jolle hyperbolinen taso kokonaisuudessaan voitaisiin isometrisesti kuvata. On kuitenkin olemassa pseudopalloiksi sanottuja pintoja, joilla on vakio negatiivinen Gaussin kaarevuus ja jotka sen vuoksi ovat lokaalisti isometrisia hyperbolisen tason kanssa. Tunnetuin sellainen on traktroidi, joka syntyy traktrix-nimisen käyrän pyörähtäessä asymptoottinsa ympäri.

Koko hyperboliselle tasolle voidaan kuitenkin muodostaa malleja määrittelemällä jollekin euklidisen tason osalle tavanomaisesta poikkeava metriikka. Tällaisia malleja ovat Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli, Poincarén puolitasomalli ja hyperboloidimalli, joista kolme ensimmäistä ovat Beltramin kehittämiä, eivätkä Kleinin ja Poincarén, joiden mukaan mallit on nimetty.

Lähteet

• http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)
• http://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/73885/graduGlader2011.pdf?sequence=1 (Arkistoitu – Internet Archive)
• https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/26824/URN%3aNBN%3afi%3ajyu-2011042710685.pdf?sequence=1

Aiheesta muualla

• "The Hyperbolic Geometry Song" Lyhyt video Youtubessa, joka kertoo hyperbolisesta geometriasta
• Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry