Trigonometria

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Suorakulmainen kolmio
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Trigonometria (muinaiskreikaksi τρίγωνος, trígōnos, kolmekulmainen, ja μέτρον, métron, mitata), kolmiomitanto, on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala.

Trigonometrian perustana on se tosiasia, että kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on suoran kulman lisäksi toinen yhtä suuri kulma, ovat keskenään yhdenmuotoisia. Koska yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhteet ovat samat, suorakulmaisen kolmion sivujen suhteet määräytyvät vain kolmion (ei-suorasta) kulmasta. Nämä suhteet ovat siis pelkästään kulman funktioita .

Suorakulmaisen kolmion ABC, \angle BCA=90^{\circ}, kolmesta sivusta BC=a, CA=b ja AB=c voidaan muodostaa kuusi suhdetta. Nämä on tapana nimittää kulman \angle BAC=\alpha funktioiksi niin, että \frac{a}{c} on \alpha:n sini, \frac{b}{c} on \alpha:n kosini, \frac{a}{b} on \alpha:n tangentti, \frac{b}{a} on \alpha:n kotangentti, \frac{c}{b} on \alpha:n sekantti ja \frac{c}{a} on \alpha:n kosekantti. Näiden suhteiden eli trigonometristen funktioiden arvoja on aikojen kuluessa taulukoitu ja muita menetelmiä niiden tuottamiseksi kehitetty. Trigonometristen funktioiden, erityisesti sinin ja kosinin, arvojen tuntemus ja sinilauseen ja kosinilauseen käyttö tekevät mahdolliseksi kolmion tuntemattomien osien laskemisen, kun kolmiosta tunnetaan vähintään kaksi osaa, joista ainakin yksi on kolmion sivun pituus.

Trigonometrialla on monia sovelluksia esimerkiksi tähtitieteessä, tilastotieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa.

Trigonometrisista funktioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Trigonometrinen funktio

Klassiset määritelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmaisessa kolmiossa ABC, \angle BCA=90^{\circ}, sivujen suhteisiin vaikuttaa vain terävän kulman \angle BAC=\alpha (0 <\alpha < 90^{\circ}) suuruus, ei kolmion koko. Kolmion pisintä sivua AB=c kutsutaan sen hypotenuusaksi, lyhempiä sivuja BC=a \alpha:n vastaiseksi ja AC=b \alpha:n viereiseksi kateetiksi. Näitä sivujen suhteita nimitetään kulman trigonometrisiksi funktioiksi.

SINI sin α = a/c;
KOSINI cos α = b/c
TANGENTTI tan α = a/b
KOTANGENTTI cot α = b/a
SEKANTTI sec α = c/b
KOSEKANTTI csc α = c/a

Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä a^2+b^2=c^2 kutsutaan nimellä Pythagoraan lause. Se on erikoistapaus kosinilauseesta.

Yleensä käytetään vain kahta tai kolmea ensimmäistä funktiota, koska kotangentti, sekantti ja kosekantti saadaan tangentin, kosinin ja sinin (vastaavasti) käänteisarvoina ja tangentti on sinin ja kosinin osamäärä.

Yleisempi määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksikköympyrä

Piirretään suorakulmaiseen xy-koordinaatistoon yksikköympyrä eli ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi, ja tarkastellaan ympyrän kehän tason ensimmäisessä neljänneksessä sijaitsevaa pistettä (x,y). Jos x-akselin ja pisteen origoon yhdistävän janan välinen kulma on \phi, niin sinin ja kosinin määritelmän perusteella x=\cos\phi ja y=\sin\phi. Tämä antaa aiheen laajentaa sinin ja kosinin määritelmät myös sellaisille kulmille \phi, jotka eivät toteuta ehtoa 0<\phi<90^{\circ}. Määritelmä syntyy sijoittamalla kulma niin, että sen kärki on origo ja oikea kylki on positiivinen x-akseli. Jos vasen kylki leikkaa yksikköympyrän pisteessä (x, y), asetetaan \cos\phi=x ja \sin\phi=y. Kun \phi:n ajatellaan syntyvän kiertona positiivisesta x-akselista vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan, kun \phi on positiivinen, ja myötäpäivään eli negatiiviseen kiertosuuntaan, kun \phi on negatiivinen, saadaan määritelmä koskemaan kaikkia kulmia (tai kiertoja).

Muut trigonometriset funktiot ovat sinin ja kosinin suhteita tai käänteislukuja. Niiden yleiset määritelmät palautuvat siis sinin ja kosinin yleiseen määritelmään. Koska sini ja kosini saavat tietyillä kulmilla arvon 0, niin tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti eivät ole määriteltyjä kaikilla kulmilla.

Koska kulmia mitataan eri yksiköin, on trigonometristen funktioiden avulla laskettaessa otettava huomioon käytettävä mittayksikkö (asteet, piirut, radiaanit jne.). Silloin, kun trigonometrisia funktioita käytetään alkuperäisestä geometrisesta yhteydestään irrotettuina, oletetaan yleensä, että niiden argumentit ovat paljaita lukuja. Kulmiin palautettuna tämä tarkoittaa kulman yksikköä radiaani eli ns. absoluuttista kulman yksikköä.

Sarjakehitelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sini-ja kosinifunktion arvot voidaan laskea niiden sarjakehitelmistä kaikilla reaaliluvuilla x:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Näistä sarjoista voidaan johtaa myös muiden trigonometristen funktioiden sarjakehitelmiä, esimerkiksi

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} (2^{2n}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad \left | x \right | < \frac {\pi} {2} ,
\csc x = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2 (2^{2n-1}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad 0 < \left | x \right | < \pi ,
\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots = 1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \left | x \right | < \frac {\pi} {2} ,
\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \frac {1} {x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad 0 < \left | x \right | < \pi .

Näissä B_n:t ovat ns. Bernoullin lukuja ja E_n:t ns. Eulerin lukuja.

Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muunnoskaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\sin^2 x + \cos^2 x = 1\qquad\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\qquad\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

\sin (-x) = -\sin x \qquad\cos(-x) = \cos x

[1]

Derivointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\operatorname{D} \sin x = \cos x\qquad \operatorname{D} \cos x = -\sin x \qquad \operatorname{D} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad \operatorname{D} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x }

Trigonometristen funktioiden monikertaisten kulmien kaavat (esimerkiksi \sin 2x) voidaan johtaa De Moivren kaavalla.

Integrointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\int \sin x\,dx = -\cos x + C\qquad\int \cos x\,dx = \sin x + C\qquad\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C \int \cot x\,dx = \ln |\sin x| + C

Pallotrigonometria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleensä trigonometrialla tarkoitetaan vain tasopinnalle sijoitettuja kolmioita käsittelevää matematiikkaa. Pallotrigonometria käsittelee kolmioita, jotka muodostuvat pallon isoympyröiden kaarista. Pallokolmion kulmien ja sivujen suuruus ilmaistaan kulmamitoin. Pallotrigonometrialla on runsaasti sovelluksia tähtitieteessä.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]