Trigonometria

Wikipedia

Trigonometria (muinaiskreikaksi τρίγωνος, trígōnos, kolmekulmainen, ja μέτρον, métron, mitata), kolmiomitanto, on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala.

Trigonometrian perustana on se tosiasia, että kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on suoran kulman lisäksi toinen yhtä suuri kulma, ovat keskenään yhdenmuotoisia. Koska yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhteet ovat samat, suorakulmaisen kolmion sivujen suhteet määräytyvät vain kolmion (ei-suorasta) kulmasta. Nämä suhteet ovat siis pelkästään kulman funktioita.

Suorakulmaisen kolmion $A B C$ , $\angle BCA=90^{\circ}$ , kolmesta sivusta $B C = a$ , $C A = b$ ja $A B = c$ voidaan muodostaa kuusi suhdetta. Nämä on tapana nimittää kulman $\angle BAC=\alpha$ funktioiksi niin, että $\frac{a}{c}$ on $α$ :n sini, $\frac{b}{c}$ on $α$ :n kosini, $\frac{a}{b}$ on $α$ :n tangentti, $\frac{b}{a}$ on $α$ :n kotangentti, $\frac{c}{b}$ on $α$ :n sekantti ja $\frac{c}{a}$ on $α$ :n kosekantti. Näiden suhteiden eli trigonometristen funktioiden arvoja on aikojen kuluessa taulukoitu ja muita menetelmiä niiden tuottamiseksi kehitetty. Trigonometristen funktioiden, erityisesti sinin ja kosinin, arvojen tuntemus ja sinilauseen ja kosinilauseen käyttö tekevät mahdolliseksi kolmion tuntemattomien osien laskemisen, kun kolmiosta tunnetaan kolme osaa, joista ainakin yksi on kolmion sivun pituus.

Trigonometrialla on monia sovelluksia esimerkiksi tähtitieteessä, tilastotieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa.

Sisällysluettelo

1 Trigonometrisista funktioista
2 Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja
3 Pallotrigonometria
4 Katso myös

[muokkaa] Trigonometrisista funktioista

Pääartikkeli: Trigonometrinen funktio

[muokkaa] Klassiset määritelmät

Suorakulmaisessa kolmiossa $A B C$ , $\angle BCA=90^{\circ}$ , sivujen suhteisiin vaikuttaa vain terävän kulman $\angle BAC=\alpha$ ( $0 <\alpha < 90^{\circ}$ ) suuruus, ei kolmion koko. Kolmion pisintä sivua $A B = c$ kutsutaan sen hypotenuusaksi, lyhempiä sivuja $B C = a$ $α$ :n vastaiseksi ja $A C = b$ $α$ :n viereiseksi kateetiksi. Näitä sivujen suhteita nimitetään kulman trigonometrisiksi funktioiksi.

SINI sin α = α:n vastainen kateetti / hypotenuusa;

KOSINI cos α = α:n viereinen kateetti / hypotenuusa;

TANGENTTI tan α = α:n vastainen kateetti / viereinen kateetti;

KOTANGENTTI cot α = α:n viereinen kateetti / vastainen kateetti;

SEKANTTI sec α = hypotenuusa / α:n viereinen kateetti;

KOSEKANTTI csc α = hypotenuusa / α:n vastainen kateetti.

Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä $a 2 + b 2 = c 2$ kutsutaan nimellä Pythagoraan lause. Se on erikoistapaus kosinilauseesta.

Yleensä käytetään vain kahta tai kolmea ensimmäistä funktiota, koska kotangentti, sekantti ja kosekantti saadaan tangentin, kosinin ja sinin (vastaavasti) käänteisarvoina ja tangentti on sinin ja kosinin osamäärä.

[muokkaa] Yleisempi määritelmä

Piirretään suorakulmaiseen xy-koordinaatistoon yksikköympyrä eli ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi, ja tarkastellaan ympyrän kehän tason ensimmäisessä neljänneksessä sijaitsevaa pistettä $(x, y)$ . Jos $x$ -akselin ja pisteen origoon yhdistävän janan välinen kulma on $φ$ , niin sinin ja kosinin määritelmän perusteella $x = cosφ$ ja $y = sinφ$ . Tämä antaa aiheen laajentaa sinin ja kosinin määritelmät myös sellaisille kulmille $φ$ , jotka eivät toteuta ehtoa $0<\phi<90^{\circ}$ . Määritelmä syntyy sijoittamalla kulma niin, että sen kärki on origo ja oikea kylki on positiivinen $x$ -akseli. Jos vasen kylki leikkaa yksikköympyrän pisteessä $(x, y)$ , asetetaan $cosφ = x$ ja $sinφ = y$ . Kun $φ$ :n ajatellaan syntyvän kiertona positiivisesta $x$ -akselista vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan, kun $φ$ on positiivinen, ja myötäpäivään eli negatiiviseen kiertosuuntaan, kun $φ$ on negatiivinen, saadaan määritelmä koskemaan kaikkia kulmia (tai kiertoja).

Muut trigonometriset funktiot ovat sinin ja kosinin suhteita tai käänteislukuja. Niiden yleiset määritelmät palautuvat siis sinin ja kosinin yleiseen määritelmään. Koska sini ja kosini saavat tietyillä kulmilla arvon 0, niin tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti eivät ole määriteltyjä kaikilla kulmilla.

Koska kulmia mitataan eri yksiköin, on trigonometristen funktioiden avulla laskettaessa otettava huomioon käytettävä mittayksikkö (asteet, piirut, radiaanit jne.). Silloin, kun trigonometrisia funktioita käytetään alkuperäisestä geometrisesta yhteydestään irrotettuina, oletetaan yleensä, että niiden argumentit ovat paljaita lukuja. Kulmiin palautettuna tämä tarkoittaa kulman yksikköä radiaani eli ns. absoluuttista kulman yksikköä.

[muokkaa] Sarjakehitelmät

Sini-ja kosinifunktion arvot voidaan laskea niiden sarjakehitelmistä kaikilla reaaliluvuilla $x$ :

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ,

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ .

Näistä sarjoista voidaan johtaa myös muiden trigonometristen funktioiden sarjakehitelmiä, esimerkiksi

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} (2^{2n}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad \left | x \right | < \frac {\pi} {2}$ ,

$\csc x = \frac {1} {x} + \frac {x} {6} + \frac {7 x^3} {360} + \frac {31 x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2 (2^{2n-1}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad 0 < \left | x \right | < \pi$ ,

$\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots = 1+ \sum_{n=1}^\infty \frac{E_n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \left | x \right | < \frac {\pi} {2}$ ,

$\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \frac {1} {x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_n x^{2n-1}}{(2n)!}, \quad 0 < \left | x \right | < \pi$ .

Näissä $B n$ :t ovat ns. Bernoullin lukuja ja $E n$ :t ns. Eulerin lukuja.

[muokkaa] Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja

[muokkaa] Muunnoskaavoja

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1\qquad\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\qquad\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$\sin (-x) = -\sin x \qquad\cos(-x) = \cos x$

[1]

[muokkaa] Derivointi

$\operatorname{D} \sin x = \cos x\qquad \operatorname{D} \cos x = -\sin x \qquad \operatorname{D} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x} \qquad \operatorname{D} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x }$

Trigonometristen funktioiden monikertaisten kulmien kaavat (esimerkiksi $sin2 x$ ) voidaan johtaa De Moivren kaavalla.

[muokkaa] Integrointi

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C\qquad\int \cos x\,dx = \sin x + C\qquad\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ $\int \cot x\,dx = \ln |\sin x| + C$

[muokkaa] Pallotrigonometria

Yleensä trigonometrialla tarkoitetaan vain tasopinnalle sijoitettuja kolmioita käsittelevää matematiikkaa. Pallotrigonometria käsittelee kolmioita, jotka muodostuvat pallon isoympyröiden kaarista. Pallokolmion kulmien ja sivujen suuruus ilmaistaan kulmamitoin. Pallotrigonometrialla on runsaasti sovelluksia tähtitieteessä.

[muokkaa] Katso myös

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

Trigonometria

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Trigonometrisista funktioista

[muokkaa] Klassiset määritelmät

[muokkaa] Yleisempi määritelmä

[muokkaa] Sarjakehitelmät

[muokkaa] Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja

[muokkaa] Muunnoskaavoja

[muokkaa] Derivointi

[muokkaa] Integrointi

[muokkaa] Pallotrigonometria

[muokkaa] Katso myös

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä