Matematiikka

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Eukleides, yksityiskohta Rafaelin teoksesta Ateenan koulu.

Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva formaali eli käsitteellinen tiede. Matematiikassa tutkitaan muun muassa lukuja, määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen kielenä, jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti, kun oletetaan loogisten rakenteiden pysyvän muuttumattomina.

Matematiikka ei tutki ympäröivää, fysikaalista todellisuutta, vaan käsitteellisiä riippuvuussuhteita. Tämän takia sitä ei yleensä lueta luonnontieteisiin. Vaikka matematiikan tutkimusongelmat tulevat usein luonnontieteistä, erityisesti fysiikasta, tutkitaan matematiikassa myös puhtaasti matematiikan sisäisiä alueita, joille ei välttämättä ainakaan heti ole sovellusalueita millään muulla tieteenalalla.

Etymologia ja yleiskatsaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sana matematiikka (kreik. μαθηματικά, ’mathēmatiká’) tulee kreikan sanasta μάθημα (máthēma), joka tarkoittaa tiedettä, tietoa tai oppimista. Matemaatikkoa tarkoittava kreikankielinen sana μαθηματικός (mathematikós) tarkoittaa ”halukas oppimaan”.

Matematiikan pääalueet syntyivät käytännön tarpeista. Laskutaito oli tarpeellinen niin kaupankäynnissä, maanmittauksessa kuin tähtitieteellisten tapahtumien ennustamisessakin. Matematiikka on siis alun perin muiden tieteiden (lähinnä luonnontieteiden) työkalu ja tutkimustulosten tarkka ilmaisuväline. Matematiikan avulla voidaan teoreettisesti tarkastella käytännössä havaittuja asioita ja tehdä näistä tutkimustuloksista johtopäätöksiä.

Matematiikan vanhimpia osa-alueita ovat aritmetiikka eli laskuoppi sekä geometria. Aritmetiikka käsittelee numeroita ja lukuja, joista ensimmäisenä on otettu käyttöön positiiviset kokonaisluvut eli luonnolliset luvut, sekä niillä suoritettavia laskutoimituksia. Lukukäsitteen myöhemmät laajennukset ovat johtaneet muidenkin lukulajien kuten reaalilukujen ja kompleksilukujen käyttöönottoon. Lukuteoria tutkii lukujen syvempiä ominaisuuksia. Yhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavien menetelmien tutkimus johtaa algebraan.

Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta. Ensin kehitettiin euklidinen geometria, josta trigonometria on eriytynyt omaksi erikoisalakseen. Myöhemmin osoittautui, ettei euklidinen geometria ole ainoa looginen mahdollisuus, ja sen ohella onkin kehitetty myös epäeuklidisia geometrioita.

Nykyisen korkeamman matematiikan pääosiksi mainitaan tavallisesti abstrakti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin. Matematiikan peruskäsitteiden tarkempi analysointi on johtanut joukko-opin kehittymiseen.

Matemaatikot loivat lukuisia välttämättömiä käsitteitä tietokoneita kehitettäessä; näistä kehittyi edelleen informaatioteoria.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Matematiikan historia

Matematiikan historia on hyvin pitkä. Matematiikka on fysiikan ja tähtitieteen ohella vanhimpia tieteenaloja.

Matematiikan ensimmäisten vaiheiden tarkka selvittäminen on mahdotonta, sillä ihmiskunta oppi laskemaan ennen kirjoitustaidon syntyä. Niinpä mitään kirjallisia dokumentteja ensimmäisistä laskusäännöistä tai geometrisista hahmotelmista ei ole jäljellä. Matematiikan varhaishistoriaa voidaan tutkia parhaiten arkeologisten löytöjen, kielitieteen ja eläinten tarkkailun avulla. On todettu, että monet eläimet kykenevät erottamaan ainakin viittä alkiota pienempien joukkojen kokoeron. Siten voidaan olettaa, että jonkinlainen luvun käsite on hyvin vanha. Tätä tukee myös monien kielten kieliopillisen luvun jaottelu yhteen ja moneen, jossain tapauksessa kahteen ja kolmeenkin.

Siitä, että on ymmärretty kahden kiven ja kolmen kiven välinen ero, on ollut todennäköisesti pitkä matka siihen, että on ymmärretty abstraktin käsitteen ”kolme” liittävän yhteen kolme kiveä ja kolme puuta.[1] Tätä ajatusta tukee se, että monet joukkojen kokoeroja hahmottavat eläimet eivät pysty tähän. Lisäksi ensimmäiset kieliin ilmaantuneet lukusanat ovat tarkoittaneet alun perin esimerkiksi kahta kiveä. Lukua on siis ollut vaikea hahmottaa yhteydestään irrallisena käsitteenä. Joidenkin teorioiden mukaan järjestysluvut olisivat syntyneet ennen kardinaalilukuja. Tätä on perusteltu sillä, että monissa rituaaleissa ja myyteissä tapahtumien ja henkilöiden järjestyksellä on ollut tärkeä osa.[1] Kielet eivät kuitenkaan tue tätä käsitystä, sillä lähes kaikissa kielissä järjestys­luvut muodostetaan kardinaali­luku­sanojen johdannaisina.

Vanhimmat arkeologiset todisteet lukumäärien laskennasta ovat noin 30 000 vuotta vanhoja. Tšekistä löydetyssä luussa on yhteensä 55 lovea, jotka on jaoteltu viiden ryhmiin. Viisi on ollut luonnollinen valinta sopivaksi joukoksi, koska sormia on yhdessä kädessä viisi. Kymmenen (kahden käden sormet) ja kaksikymmentä (sormet ja varpaat) ovat olleet myös varhaisia lukujärjestelmien kantalukuja. Amerikan intiaaniheimoille tehdyssä tutkimuksessa kolmannes käytti viisijärjestelmää, kolmannes kymmenjärjestelmää, vajaa kolmannes binaarijärjestelmää ja loput kolmijärjestelmää. Kaksikymmenjärjestelmästä on todisteita lähinnä Euroopasta, missä sen jäänteitä näkyy yhä kielissä, ranskan 80 (quatre-vingt) on suomeksi neljä kahtakymmentä. Varhaisimmat kirjoitetut todisteet näyttävät suosineen viisijärjestelmää, mutta kielen saadessa selvän formaalisen muodon kymmenjärjestelmä on noussut yleisimmäksi.[1]

Geometrian varhaisvaiheita on lukujen syntyäkin vaikeampi selvittää. Kreikkalaiset sijoittivat geometrian synnyn muinaiseen Egyptiin, jossa sitä tarvittiin maanmittaukseen. On kuitenkin selvää, ettei kehittynyt geometrinen ajattelu ole syntynyt tuolloin tyhjästä, vaan jo paljon aiemmin on ollut jonkinlaista geometrista hahmotuskykyä. Monet muutkin eläimet, etenkin apinat, pystyvät hahmottamaan muodon abstraktina, tietystä esineestä irrallisena asiana ja ryhmittelemään eri esineitä muodon perusteella ryhmiin.

Vanhimmat todisteet luovasta geometrisesta ajattelusta voidaan nähdä geometrisia kuvioita esittävissä luolamaalauksissa ja erilaisissa punostöissä. Jo niissä on nähtävissä esimerkiksi ajatus kuvioiden yhdenmuotoisuudesta ja symmetriasta.[2] Yksi vanhimmista tällaisista töistä on Etelä-Afrikasta löydetty luola, jonka seiniin on raaputettu geometrisiä kuvioita arviolta jo 70 000 vuotta sitten.[3]

Matematiikan filosofia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pääartikkeli: Matematiikan filosofia

Matematiikan filosofia on filosofian osa-alue, joka tutkii matematiikan filosofisia perusteita, oletuksia ja seurauksia.

Matematiikan filosofian teemoja ovat muun muassa:

Tärkeitä teemoja matematiikassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraava lista antaa vain yhden mahdollisen näkemyksen.

Kvantiteetti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvantiteetti lähtee liikkeelle laskemisesta ja mittaamisesta.
0, 1, 2, \ldots \ldots, -1, 0, 1, \ldots \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots \pi, e, \sqrt{2},\ldots i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots
Luonnollinen luku Kokonaisluku Rationaaliluku Reaaliluku Kompleksiluku

Rakenne[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ajatuksia koosta, symmetriasta ja matemaattisesta rakenteesta.
36 \div 9 = 4 Elliptic curve simple.svg Impossible cube illusion angle.svg Group diagram d6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
Aritmetiikka Lukuteoria Abstrakti algebra Ryhmäteoria Järjestysteoria
Algebralliset struktuurit.
Monoidi Ryhmä Rengas Kunta Lineaarialgebra Algebrallinen geometria Universaalinen algebra

Avaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Visuaalisempi lähestymistapa matematiikkaan.
Pythagorean.svg Taylorsine.svg Osculating circle.svg Torus.jpg Koch curve.svg
Geometria Trigonometria Differentiaaligeometria Topologia Fraktaaligeometria

Muutos[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tapa ilmaista ja käsitellä muutosta matemaattisissa funktioissa ja lukujen välillä.
Integral as region under curve.svg Vector field.svg \frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c Limitcycle.jpg LorenzAttractor.png
Matemaattinen analyysi Vektorilaskenta Differentiaaliyhtälöt Dynaamiset järjestelmät Kaaosteoria

Perusteet ja metodit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähestymistapoja, joiden avulla voi ymmärtää matematiikan luonnetta.
 P \Rightarrow Q Venn A intersect B.svg MorphismComposition-01.png
Matemaattinen logiikka Joukko-oppi Kategoriateoria


Diskreetti matematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Diskreetti matematiikka sisältää tekniikoita, jotka pätevät objekteihin, joilla voi olla vain tiettyjä, erillisiä arvoja.
[1,2,3][1,3,2]
[2,1,3][2,3,1]
[3,1,2][3,2,1]
DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Kombinatoriikka Laskennan teoria Salakirjoitustekniikka Graafiteoria


Sovellettu matematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sovellettu matematiikka pyrkii ratkaisemaan tosielämän ongelmia matematiikkaan liittyvien eri osa-alueiden avulla.
Matemaattinen fysiikkaMekaniikkaNumeerinen analyysiTodennäköisyysTilastotiedeMatemaattinen talousFinanssimatematiikkaPeliteoriaMatemaattinen biologiaKryptografiaTietokoneavusteinen matematiikka

Tärkeitä teoreemoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nämä teoreemat ja olettamukset ovat kiinnostaneet matemaatikkoja ja ei-matemaatikkoja.
De Moivren kaavaEulerin lauseFermat'n suuri lauseGoldbachin väittämäPoincarén väittämäPythagoraan lauseRiemannin hypoteesi

Tärkeitä konjektuureja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nämä kuuluvat matematiikan suurimpiin ratkaisemattomiin ongelmiin. Katso myös luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista.
Goldbachin konjektuuriRiemannin hypoteesiCollatzin konjektuuriP=NP? – avoimet Hilbertin ongelmat.

Sekalaisia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

aksiooma - funktio - joukko - kommutatiivisuus - kunta - lause - lemma - luku - numero - osajoukko - otaksuma - relaatio - rengas - ryhmä - lause - yhtälö

Alkioita eri avaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

algebrallinen luku - alkuluku - imaginaariluku - irrationaaliluku - kokonaisluku - kompleksiluku - luonnollinen luku - matriisi - murtoluku - rationaaliluku - reaaliluku - transsendenttiluku - vektori

Tutkimusalueita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

algebra - analyysi - aritmetiikka - diskreetti matematiikka - fraktaaligeometria - funktioteoria - geometria - joukko-oppi - lineaarialgebra - logiikka - lukuteoria - numeeriset menetelmät - peliteoria - ryhmäteoria - tilastotiede - todennäköisyys - topologia - verkko- eli graafiteoria

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Boyer osa 1 s. 23–29
  2. Boyer osa 1 s. 29–31
  3. Art Prehistory 2002. The National Health Museum. Viitattu 29.8.2007. (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Wikiquote-logo-en.svg
Wikisitaateissa on kokoelma Matematiikka -sitaatteja.