Matriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan tyypin m \times n matriisiksi ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:[1]

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots   & a_{2n} \\
\vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään a_{ij} tai A_{ij}. Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j.

Tavallisia matriiseja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksikkömatriisi \mathbf{I} on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \mathbf{I}_{n \times n}.[1] Tällöin pätee \mathbf{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \mathbf{I}_{ij} = 0.

I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots &    & 0 \\
\vdots &    & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}[2]

Nollamatriisi \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Neliömatriisilla on yhtä monta riviä ja saraketta.[1]


Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia.[1] Matriisille A_{n \times n} pätee että A_{ij} = 0 kun  i \ne j:

A = \begin{bmatrix}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & \, & 0 \\
\vdots & \, & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n \\
\end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

Transpoosi ja symmetrisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi (reaaliavaruudessa):

jos A = \begin{bmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\end{bmatrix}, niin A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix}
1&4\\
2&5\\
3&6\end{bmatrix}.

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli A^\operatorname{T}=A.

Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Skalaarilla kertominen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisi A = (a_{ij}) kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen A:n alkio kerrotaan skalaarilla c:

cA = Ac = ( ca_{ij})\,\!

Yhteenlasku[3][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla samaa tyyppiä, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien A_{m \times n} ja B_{m \times n} summa on 
(A+B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots &
\ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{bmatrix}

Kertolasku[4][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisien kertolasku.

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa m \times p ja B kokoa p \times n. Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa m \times n. Nyt AB = 
\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots &
\ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n
\end{bmatrix}
missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin A vaakavektori, ja \mathbf{b}_j matriisin B pystyvektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]


\left( \begin{array}{ccc}
3  &  -1   \\ 
5 & 2  \\   \end{array} \right)
 \left( \begin{array}{ccc}
1 &  4 & -3   \\ 
0 & -2 & 6  \\   \end{array} \right)

=
 \left( \begin{array}{ccc}
3\cdot 1+(-1)\cdot 0  & 3\cdot 4+(-1)\cdot(-2) & 3\cdot (-3)+(-1)\cdot 6   \\ 
5\cdot 1+2\cdot 0  & 5\cdot 4+2\cdot(-2) & 5\cdot (-3)+2\cdot 6   \\   \end{array} \right)

=
 \left( \begin{array}{ccc}
 3  &  14  & -15 \\ 
 5  &  16  &  -3  \\   \end{array} \right).

Tärkeimmät laskusäännöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

  • \mathbf {A + 0 = A}
  • \mathbf A 0 = 0\mathbf {A = O}, \forall [\mathbf O]_{ij} = 0
  • \mathbf{A + B = B + A}
  • (\mathbf{A + B) + C = A + (B + C)}
  • c(\mathbf{A + B}) = c\mathbf A + c\mathbf B
  • 1\mathbf{ A = A}
  • \mathbf {A(BC) = (AB)C}
  • c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A)B} = \mathbf A(c\mathbf B)
  • \mathbf{A(B + C) = AB + AC}
  • \mathbf{(A + B)C = AC + BC}
  • \mathbf{IA = AI = A}
  • \mathbf{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}

On huomattava, että yleisesti AB \ne BA, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

Determinantti[5][muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään:

\det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

Matriisin A alimatriisi A_{ij} saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \displaystyle \det A_{ij} sanotaan alkion a_{ij} alideterminantiksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n} determinantti on

\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1,  j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}

,jossa (j_1, j_2, j_3, \dots, j_n) on eräs \{1, \dots, n\}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja


\sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right) 
= \begin{cases} 
  1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\
 -1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton} 
\end{cases}

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:


\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} 
= \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c

Laskusääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • \det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right)
  •  \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right) , jossa A ja B ovat molemmat n \times n -matriiseja.
  • Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla
 \det \left( A \right) = 0
  • Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,
 \det \left( A \right) = 0
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,
\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right)
  • Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.
  • Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,
\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right)

Determinantin laskeminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n}

,jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:


\begin{align}
\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} 

&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} 
- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 
+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} 
\\
&= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right) 
- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right) 
+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97
\end{align}

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo 25\times25 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja d_{ii} ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

  1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: c = -1c_0.
  2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: c = c_0.
  3. Kun kerrotaan rivi vakiolla k: c = k c_0.

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Alkion komplementti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

määritellään alkion a_{ij} \,\! komplementti eli kofaktori

C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin A = (a_{ij})\,\! adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

Determinantin käyttäminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliömatriisia A sanotaan singulaariseksi, jos \det A = 0 \,\!. Jos \det A \ne 0, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille A pätee

A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Matriisit ja lineaarikuvaukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m vastaa tietty m \times n kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kantavektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.[6]

Lineaariset yhtälöryhmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
    :
    :
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm,

Sama voidaan esittää matriisilla A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \mathbf{x} ja \mathbf{b} lyhyesti muodossa A\mathbf{x} = \mathbf{b}:

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliömatriisi A_{n \times n} on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi B_{n \times n} siten että AB = I_{n \times n} ja BA=I_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi A on singulaarinen. Matriisia B kutsutaan matriisin A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla A^{-1}. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään GL_n. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä A_{n \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis A on n \times n neliömatriisi. Matriisin A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \mathbf{b} mikä hyvänsä. Mikäli A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \mathbf{b} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Weisstein, Eric W: "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  2. Weisstein, Eric W: "Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  3. Weisstein, Eric W.: "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  4. Weisstein, Eric W.: "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  5. Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.
  6. Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.: "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource Viitattu 23.10.2014.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]