Matriisi

Wikipedia

Matriisi

Matriisi on suorakulmainen alkioita (usein reaali- tai kompleksilukuja) sisältävä matemaattinen taulukko. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Sisällysluettelo

1 Määritelmä
2 Tavallisia matriiseja
3 Transpoosi ja symmetrisyys
4 Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa
5 Determinantti
6 Lineaariset yhtälöryhmät
7 Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

[muokkaa] Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisi, jossa on $m$ kappaletta rivejä ja $n$ kappaletta sarakkeita on matriisi, jonka koko on m×n, ja se merkitään:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$

Alkiota, joka on rivillä $i$ ja sarakkeessa $j$ merkitään siten $a i j$ tai $A i j$ . Alkiota $A i j$ kutsutaan lävistäjäalkioksi, jos $i = j$ .

Matriisia sanotaan neliömatriisiksi mikäli sillä on yhtä monta riviä kuin saraketta.

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

[muokkaa] Tavallisia matriiseja

Yksikkömatriisi $\mathbf{I}$ on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. $n \times n$ yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla $\mathbf{I}_{n \times n}$ . Tällöin pätee $\mathbf{I}_{ij} = 1$ , kun $i = j$ , ja muuten $\mathbf{I}_{ij} = 0$ .

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}$

Nollamatriisi $\mathbf{O}$ on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille $A_{n \times n}$ pätee että $A i j = 0$ kun $i \ne j$ :

$A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \, & 0 \\ \vdots & \, & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)$

[muokkaa] Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin A transpoosi (merk. A^T) saadaan, kun matriisin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään. Esimerkiksi (reaaliavaruudessa):

jos $A = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix}$ , niin $A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6\end{bmatrix}$ .

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli $A^\operatorname{T}=A$ .

[muokkaa] Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

[muokkaa] Skalaarilla kertominen

Matriisi $A = a i j$ kerrotaan skalaarilla $c$ siten, että jokainen $A$ :n alkio kerrotaan skalaarilla c:

$cA = Ac = ( ca_{ij})\,\!$

[muokkaa] Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisin tulee olla samaa tyyppiä jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien $A_{m \times n}$ ja $B_{m \times n}$ summa on $(A+B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}$

[muokkaa] Kertolasku

Matriisien kertolasku.

Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa $m \times p$ ja B kokoa $p \times n$ . Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa $m \times n$ . Nyt $AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^\operatorname{T} \cdot \mathbf{b}_n \end{bmatrix}$

missä kukin $\mathbf{a}_i$ on matriisin A vaakavektori, ja $\mathbf{b}_j$ matriisin B pystyvektori. On tärkeätä huomata, että matriisin A sarakkeiden määrä täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille $A$ , $B$ ja $C$ , mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

$\mathbf {A + 0 = A}$
$\mathbf A 0 = 0\mathbf {A = O}, \forall [\mathbf O]_{ij} = 0$
$\mathbf{A + B = B + A}$
$(\mathbf{A + B) + C = A + (B + C)}$
$c(\mathbf{A + B}) = c\mathbf A + c\mathbf B$
$1\mathbf{ A = A}$
$\mathbf {A(BC) = (AB)C}$
$c(\mathbf{AB}) = (c\mathbf{A)B} = \mathbf A(c\mathbf B)$
$\mathbf{A(B + C) = AB + AC}$
$\mathbf{(A + B)C = AC + BC}$
$\mathbf{IA = AI = A}$
$\mathbf{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}$

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: $AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}$

On huomattava, että yleisesti $AB \ne BA$ , so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

[muokkaa] Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin $A$ determinantti merkitään $\det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ .

Matriisin $A$ alimatriisi $A_{ij}\,\!$ saadaan poistamalla matriisista $i$ :s vaakarivi ja $j$ :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia $\det A_{ij}\,\!$ sanotaan alkion $a_{ij}\,\!$ alideterminantiksi.

[muokkaa] Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin $A=[a_{ij}]_{n \times n}$

determinantti on

$\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1, j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}$

Jossa (j₁,j₂,j₃,...,j_n) on eräs {1,...,n}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja

$\sigma\left(j_1,j_2,j_3,...,j_n\right)=\begin{cases} 1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on parillinen} \\ -1\rm{,} & \mbox{jos }{j_1,j_2,j_3,...,j_n}\mbox{ on pariton} \end{cases}$

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi $2\times2$ determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c$

[muokkaa] Laskusääntöjä

$\det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right)$

$\det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right)$ ,

jossa A ja B ovat molemmat n $\times$ n -matriiseja.

Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

$\det \left( A \right) = 0$

Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

$\det \left( A \right) = 0$

Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,

$\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right)$

Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

Jos matriisi A₁ saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

$\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right)$

[muokkaa] Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti seuraavan kaavan mukaan.

$A\in\mathbb{R}^{n \times n}$
$\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij}$ ,

jossa A_ij on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

$\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}=$

$= 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}-5\cdot\begin{vmatrix}6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} +7\cdot\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$

$=1\cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right)-5\cdot \left( 6\cdot0-1\cdot3 \right)+7\cdot \left( 6\cdot2-0\cdot3 \right) = 97$

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo $25\times25$ matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta, johon kuluva aika on kertalukua 100 000 vuotta. Mutta koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

$\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn},$

jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja d_ii ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

1.kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja c kerrotaan −1:llä

2.kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla c ei tapahdu mitään

(3.kun kerrotaan rivi vakiolla k, c kerrotaan samalla vakiolla)

Huomaa. että kohta kolme on epäolennainen, koska meidän ei tarvitse kertoa matriisien rivejä.

[muokkaa] Alkion komplementti

Määritellään alkion $a_{ij} \,\!$ komplementti eli kofaktori

$C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\!$ .

Matriisin $A = (a_{ij})\,\!$ adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään

$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}$ .

[muokkaa] Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia $A$ sanotaan singulaariseksi, jos $\det A = 0 \,\!$ . Jos $\det A \ne 0$ , matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille $A$ pätee

$A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I$ ja $\left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I$ .

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

[muokkaa] Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on $m$ ehtoa ja $n$ tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

:

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

Sama voidaan esittää matriisilla $A_{m \times n}$ ja $n$ -pituisilla vektoreilla $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{b}$ lyhyesti muodossa $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ :

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

[muokkaa] Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi $A_{n \times n}$ on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi $B_{n \times n}$ siten että $AB = I_{n \times n}$ ja $BA=I_{n \times n}$ . Muussa tapauksessa matriisi $A$ on singulaarinen. Matriisia $B$ kutsutaan matriisin $A$ käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla $A - 1$ . Säännölliset $n \times n$ -matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään $G L n$ . Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä $A_{n \times n} \mathbf{x} = \mathbf{b}$ on $n$ ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis $A$ on $n \times n$ neliömatriisi. Matriisin $A_{n \times n}$ säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli $A$ on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori $\mathbf{b}$ mikä hyvänsä. Mikäli $A$ on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin $\mathbf{b}$ arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi $A$ on säännöllinen jos ja vain jos $A\mathbf{x} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$ .

Matriisi

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Määritelmä

[muokkaa] Tavallisia matriiseja

[muokkaa] Transpoosi ja symmetrisyys

[muokkaa] Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

[muokkaa] Skalaarilla kertominen

[muokkaa] Yhteenlasku

[muokkaa] Kertolasku

[muokkaa] Determinantti

[muokkaa] Määritelmä

[muokkaa] Laskusääntöjä

[muokkaa] Determinantin laskeminen

[muokkaa] Alkion komplementti

[muokkaa] Determinantin käyttäminen

[muokkaa] Lineaariset yhtälöryhmät

[muokkaa] Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä