Vektori

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee matemaattista käsitettä. Vektori (täsmennyssivu) käsittelee muita merkityksiä.

Vektori on vektoriavaruuden alkio. Tyypillisesti vektori on n:n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä n ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on 1.

Vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä vektoriavaruuden laskutoimitukset on määritelty. Juuri tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.

Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön ja pituus 0.

Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen paikkavektori kuvaa sen sijainnin suhteessa koordinaatiston origoon. Fysiikassa esimerkiksi nopeus on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös kiihtyvyys ja voima sekä sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudet.

Biologiassa ja lääketieteessä vektori tarkoittaa tartunnanlevittäjää tai -välittäjää, esim. virusvektorit.

Sisällysluettelo

1 Tyypillinen vektori
- 1.1 Yleisiä laskutoimituksia
2 Perusavaruuksien vektorit
- 2.1 Reaaliavaruuden laskutoimituksia
3 Aiheesta muualla

[muokkaa] Tyypillinen vektori

Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa:

$a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix},$

jossa kaikki alkiot $a_i,~i = 1,..,n$ kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa $a = \Big(a_1,a_2,...,a_n \Big)$ tai tulkitaan matriisin transpoosiksi $a = [a_1,a_2,...,a_n]^{\mathbf{T}}$ . Vektorit kirjoitetaan matematiikassa yleensä lihavoiduilla kirjaimilla ja fysiikassa vektorinuolien avulla: $\mathbf{a}$ ja $\vec{a}$ .

[muokkaa] Yleisiä laskutoimituksia

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden $\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb{V}$ summa:

$\mathbf x +\mathbf y$

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen $c \in \mathbb{A}$ :

$c\mathbf x$

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

$\left| \left| \mathbf x \right| \right|$ .

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Voidaan myös määritellä pistetulo

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos(\theta)$ ,

missä $θ$ on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle$ ,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

[muokkaa] Perusavaruuksien vektorit

Jos kaikki n-ulotteisen vektorin

$\mathbf{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix}$

alkiot $a i$ ovat reaalilukuja ts. $\forall \left\{1,2,...,n\right\}: a_{i} \in\mathbb{R}$ , niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ .

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli $\mathbf{a} \in \mathbb{C}^n$

Jos vektori kuuluu avaruuteen $\mathbb{R}^2$ voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin

$\mathbf{a}= \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix}$

kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden $\mathbb{R}^3$ vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

[muokkaa] Reaaliavaruuden laskutoimituksia

Reaaliavaruudessa $\mathbb{R}^3$ (ja samalla myös avaruuden $\mathbb{R}^2$ ) vektoreiden $\mathbf{x, y} \in \mathbb{R}^3$ laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

[muokkaa] Pituus eli normi

$\left| \left| \mathbf x \right| \right| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ , jossa alkiot

x 1, x 2, x 3

ovat vektorin x alkioita.

[muokkaa] Skalaaritulo eli pistetulo

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan $n$ -ulotteisen avaruuden vektoreille.

$\langle\mathbf x , \mathbf y \rangle = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \cos \theta = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$ , kun $\mathbf{x, y}\ne \mathbf{0}$ , missä

θ

on vektoreiden x ja y välinen kulma.

[muokkaa] Vektoritulo eli ristitulo

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan $\mathbb{R}^3$ :n vektoreille

$\mathbf{x} \times \mathbf{y} := \mathbf{e} \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \sin \theta$

missä e on vektoreita x ja y vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi $\left| e \right| = 1$ ) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston.

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ määriteltyjen vektoreiden $\mathbf x$ ja $\mathbf y$ ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

$\mathbf x = a \mathbf i + b \mathbf j + c \mathbf k$

$\mathbf y = d \mathbf i + e \mathbf j + f \mathbf k$

$\mathbf{x} \times \mathbf{y} =\mathrm{det}\begin{bmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} = bf\mathbf i + cd\mathbf j + ae\mathbf k - ce\mathbf i - af\mathbf j - bd\mathbf k$