Vektori

Vektorit a ja b sekä niiden summavektori a+b.

Vektori on matematiikassa vektoriavaruuden alkio. Tyypillisesti vektori on n:n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä n ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on yksi. Fysiikassa vektori on suure, jolla on suuruus (magnitudi) ja suunta. Yksinkertainen esimerkki on nopeusvektori, jonka suuruus on vauhti ja suunta etenemissuunta.

Vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä vektoriavaruuden laskutoimitukset on määritelty. Tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.

Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan ekvivalenteiksi, toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0.

Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen paikkavektori kuvaa sen sijainnin suhteessa koordinaatiston origoon. Fysiikassa esimerkiksi nopeus on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös kiihtyvyys ja voima sekä sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudet.

Tyypillinen vektori

Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa:

$a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix},$

jossa kaikki alkiot $a_i,~i = 1,..,n$ kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa $a = \Big(a_1,a_2,...,a_n \Big)$ tai tulkitaan matriisin transpoosiksi $a = [a_1,a_2,...,a_n]^{\mathbf{T}}$. Vektorit kirjoitetaan fysiikassa yleensä lihavoiduilla kirjaimilla, esimerkiksi $\mathbf{a}$, matematiikassa merkitsemällä vektorisuureen tunnuksen yläpuolelle oikealle osoittava nuoli, esimerkiksi $\vec{a}$.

Yleisiä laskutoimituksia

Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden $\mathbf x,\mathbf y \in \mathbb{V}$summa:

$\mathbf x +\mathbf y$

sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen $c \in \mathbb{A}$:

$c\mathbf x$

Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys

$\left| \left| \mathbf x \right| \right|$.

Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.

Voidaan myös määritellä pistetulo

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos(\theta)$,

missä $\theta$ on vektoreiden välinen kulma. Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla

$\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle$,

sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.

Perusavaruuksien vektorit

Jos kaikki n-ulotteisen vektorin

$\mathbf{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{bmatrix}$

alkiot $a_{i}$ ovat reaalilukuja ts. $\forall \left\{1,2,...,n\right\}: a_{i} \in\mathbb{R}$, niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$.

Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli $\mathbf{a} \in \mathbb{C}^n$

Jos vektori kuuluu avaruuteen $\mathbb{R}^2$ voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin

$\mathbf{a}= \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \end{bmatrix}$

kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden $\mathbb{R}^3$ vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.

Tasossa $\mathbb{R}^2$ ja kolmiulotteisessa avaruudessa $\mathbb{R}^3$ käytetään usein koordinaattiakselien suuntaisille yksikkövektoreille merkintöjä $\vec{\imath}$, $\vec{\jmath}$ ja $\vec{k}$. Tällöin tason vektori

$a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2}\end{bmatrix},$

voidaan kirjoittaa myös muotoon $a_1 \vec{\imath} + a_2 \vec{\jmath}$

ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori

$a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{bmatrix},$

muotoon $a_1 \vec{\imath} + a_2 \vec{\jmath} + a_3 \vec{k}$

Reaaliavaruuden laskutoimituksia

Reaaliavaruudessa $\mathbb{R}^3$ (ja samalla myös avaruuden $\mathbb{R}^2$) vektoreiden $\mathbf{x, y} \in \mathbb{R}^3$ laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.

Pituus eli normi

$\left| \left| \mathbf x \right| \right| := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$, jossa alkiot $x_1, x_2, x_3$ ovat vektorin x alkioita.

Skalaaritulo eli pistetulo (Dot Product)

Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan $n$-ulotteisen avaruuden vektoreille.

$\langle\mathbf x , \mathbf y \rangle = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \cos \theta = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$, kun $\mathbf{x, y}\ne \mathbf{0}$, missä $\theta$ on vektoreiden x ja y välinen kulma.

Vektoreille x = ai + bj + ck ja y = di + ej + fk pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.

Pistetulon sovellutuksia

Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, työ (W) voidaan laskea pelkkänä voiman (F) ja matkan (s) tulona:

$W = F s$

Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:

$W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}$

Vektoritulo eli ristitulo (Cross Product)

Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan $\mathbb{R}^3$:n ja $\mathbb{R}^7$:n vektoreille

$\mathbf{x} \times \mathbf{y} := \mathbf{e} \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \sin \theta$

missä e on vektoreita x ja y (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi $\left| e \right| = 1$) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti.

Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ määriteltyjen vektoreiden $\mathbf x$ ja $\mathbf y$ ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:

$\mathbf x = a \mathbf i + b \mathbf j + c \mathbf k$

$\mathbf y = d \mathbf i + e \mathbf j + f \mathbf k$

$\mathbf{x} \times \mathbf{y} =\mathrm{det}\begin{bmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix} = bf\mathbf i + cd\mathbf j + ae\mathbf k - ce\mathbf i - af\mathbf j - bd\mathbf k$

Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.

Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. voiman momentin kaavassa.

Skalaarikolmitulo

Kolmelle vektorille a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) ja c = (c₁, c₂, c₃) määritellään skalaarikolmitulo eli lyhemmin kolmitulo V seuraavasti:

$V = (a \times b) \cdot c$

Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien a, b ja c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus, ja se voidaan laskea myös seuraavasti:

$V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right| = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1$.

Katso myös

• Pseudovektori

Aiheesta muualla

• Tietoa vektoreista