Ekvivalenssirelaatio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Joukon M alkioiden välillä määritelty relaatio R on ekvivalenssirelaatio, jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

         (1) aRa.
         (2) Jos aRb, niin myös bRa. 
         (3) Jos aRb ja bRc, niin aRc.

Ensimmäistä ominaisuutta sanotaan refleksiivisyydeksi, toista symmetrisyydeksi ja kolmatta transitiivisuudeksi. Jokin yksittäinen määritelty relaatio eli suhde joukon alkioiden välillä on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

Esimerkiksi yhtäsuuruus reaalilukujen joukossa on selvästikin ekvivalenssirelaatio, koska se toteuttaa varmasti kaikki kolme ekvivalenttisuuden ehtoa.

Toinen esimerkki: Määritellään relaatio I reaalilukujen välillä siten että aIb jos a-b on kokonaisluku. I on refleksiivinen, koska a-a = 0 on kokonaisluku. Jos aIb eli a-b on kokonaisluku, niin myös b-a on kokonaisluku eli bIa, joten I on symmetrinen. Myös jos aIb ja bIc, niin a-b ja b-c ovat kokonaislukuja eli myös a-c on kokonaisluku. Tällöin aIc ja I on transitiivinen. Kaikki kolme ehtoa ovat I:lle voimassa, joten I on ekvivalenssirelaatio.

Edellä kuvattu relaatio I tavallaan samaistaa kaikki keskenään ekvivalentit reaaliluvut joiden voidaan katsoa muodostavan yhden ekvivalenssi­luokan. Esimerkiksi lukua 5/7 vastaavat ekvivalentit eli samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat luvut ovat (5/7)+n, missä n on kokonaisluku.

Ekvivalenssiluokat voidaan ajatella esitetyiksi myös yksittäisten edustajiensa välityksellä. Esimerkiksi mainitussa ekvivalenssissa I voidaan valita luvut vaikka puoliavoimelta väliltä [0,1) edustamaan kaikkia relaation ekvivalenssiluokkia. Kuten huomataan, kaikki muut reaaliluvut ovat pakosta ekvivalentteja jonkin näistä luvuista kanssa.

Joukossa X määriteltyä ekvivalenssirelaatiota vastaa jokin joukon X ositus, ja toisaalta jos joukossa X on annettu ositus, voidaan osituksen avulla määrittää X:ään ekvivalenssirelaatio. Tästä lauseesta käytetään toisinaan nimitystä ekvivalenssirelaatioiden peruslause.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.