Ekvivalenssiluokka

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Yhtenevyys on esimerkki ekvi­valenssi­relaatiosta. Vasemmanpuoleiset kaksi kolmiota ovat yhteneviä, kun taas kolmas ja neljäs kolmio eivät ole yhteneviä minkään muun tässä kuvatun kolmion kanssa. Näin ollen kaksi ensimmäistä kolmiota kuuluvat samaan ekvi­valenssi­luokkaan, kun taas kolmas ja neljäs kolmio muodostavat kumpikin oman ekvi­valenssi­luokkansa.

Ekvivalenssiluokka on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvi­valentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvi­valenssi­luokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvi­valenssi­luokka on siis joukko , missä on joukon ekvivalenssi­relaatio ja .[1]

Ekvi­valenssi­relaation määritelmästä seuraa, että ekvi­valenssi­luokat muodostavat joukon osituksen. Ekvi­valenssi­luokkien joukkoa sanotaan joukon A tekijä­joukoksi relaation R suhteen[2], ja sitä merkitään A / R.

Kun joukolla A on jokin struktuuri ja ekvi­valenssi­relaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijä­joukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijä­renkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.

Merkintä ja muodollinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ekvi­valenssi­relaatio on binäärirelaatio ~, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:[3]

  • Jokainen joukon X alkio a on relaatiossa itsensä kanssa eli (refleksiivisyys)
  • Jos , niin (symmetrisyys)
  • Jos ja , niin (transitiivisuus)

Sille ekvi­valenssi­luokalle, johon alkio a kuuluu, käytetään merkintää , ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa ~ alkion a kanssa eli ekvi­valentteja alkion a kanssa:

Jos ekvi­valenssi­relaatiolle käytetään merkintää R, voidaan sille ekvi­valenssi­luokalle, johon a kuuluu, käyttää myös merkintää . Sitä sanotaan myös a:n R-ekvi­valenssi­luokaksi.

Kaikkien X:n ekvi­valenssi­luokkien joukolle ekvi­valenssi­relaation R suhteen käytetään merkintää , ja sitä sanotaan X:n tekijäjoukoksi R:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä X modulo R.[4] Surjektiota joukosta X joukolle X/R, joka kuvaa jokaisen alkion ekvi­valenssi­luokalleen, sanotaan kanoniseksi surjektioksi tai kanoniseksi projektioksi.

Kun jokaisesta ekvi­valenssi­luokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan sektioksi. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää s, saadaan jokaiselle ekvi­valenssi­luokalle c. Alkiota s(c) sanotaan c:n edustajaksi. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvi­valenssi­luokan edustajaksi.

Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvi­valenssi­luokkien edustajia sanotaan kanonisiksi edustajiksi. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvi­valenssi­relaatioon, jossa , jos on jaollinen annetulla kokonais­luvulla n, jota sanotaan modulukseksi. Jokaiseen ekvi­valenssi­luokkaan kuuluu vain yksi ei-nega­tiivinen kokonais­luku, joka on pienempi kuin n, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää a mod n voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun a jaetaan n:llä).

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Olkoon X on kaikkien autojen joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "on saman värinen kuin". Tällöin yhden ekvi­valenssi­luokan muodostavat kaikki vihreät autot. Tekijäjoukko X/~ voidaan luonnollisesti samastaa kaikkien niiden värien joukon kanssa, joita autoilla on, ja sen kardinaliteetti on autojen eri värien lukumäärä.
  • Olkoon X kaikkien suomenkielisten etunimien joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "alkaa samalla kirjaimella kuin". Tällöin ekvi­valenssi­luokat ovat [Aatami]={Aatami, Anna, Antti, Aino,...} [Belle]={Belle, Bettiina,...} ja niin edelleen aina aakkosten loppuun asti. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on yhtä monta kuin kirjaimia aakkosissa.
  • Olkoon X on tason kaikkien suorakulmioiden joukko ja ~ ekvi­valenssi­relaatio "on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin". Tällöin jokaista positiivista reaalilukua A vastaa ekvi­valenssi­luokka, johon kuuluvat kaikki suora­kulmiot, joiden pinta-ala joissakin annetuissa yksiköissä on A.[5]
  • Olkoon X kokonaislukujen joukko ja ~ ja siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: x ~y, jos ja vain jos x - y on parillinen luku. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on kaksi: toiseen kuuluvat kaikki parilliset ja toiseen kaikki parittomat kokonaisluvut. Tässä relaatiossa luvut 7, 9 ja 1 ovat kaikki tekijäjoukon saman alkion edustajia.[3]
  • Olkoon X jonkin (vähintään viikon pituisen) aikavälin kaikkien päivien joukko ja ~ siinä määritelty ekvi­valensirelaatio: x ~ y, jos ja vain jos päivästä x päivään y tai päivästä y päivään x kuluvien (tai kuluneiden) vuoro­kausien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Tämä on yhtä­pitävää sen kanssa, että päivät x ja y ovat samana viikonpäivänä, ja joukkoon X\~ alkiot eli ekvivalenssi­luokat ovat seitsemän viikonpäivää.
  • Olkoon X kokonais­lukujen sellaisten järjestettyjen parien (a, b) joukko, joissa b ei ole nolla, ja ~ siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: (a,b) ~ (c,d), jos ja vain jos ad = bc. Tällöin kutakin ekvi­valenssi­luokkaa (a,b) vastaa murtoluku a/b, ja tätä ekvi­valenssi­relaatiota voidaankin käyttää rationaalilukujen muodollisena määritelmänä samastamalla rationaaliluvut tällaisten ekvi­valenssi­luokkien kanssa.[6] Samalla tavalla voidaan mistä tahansa kokonaisalueesta muodostaa sitä vastaavien "murtolukujen" kunta.
  • Olkoon X eulidisen tason kaikkien suorien joukko ja määritellään relaatio ~ niin, että L ~ M, jos ja vain jos suorat L ja M ovat yhden­suuntaisia tai jos L ja M ovat sama suora. Tällöin relaatio on ekvi­valenssi­relaatio, ja kaikkien suorien joukko, jotka ovat yhden­suuntaisia L:n kanssa, on ekvi­valenssi­luokka. Jokaista tällaista ekvi­valenssi­luokkaa vastaa tietyn suuruinen kulma, jonka siihen kuuluvat suorat muodostavat esimerkiksi x-akselin suuntaisten suorien kanssa. Samalla jokainen tällainen ekvi­valenssi­luokka määrittelee yhden ideaalisen, äärettömän kaukaisen pisteen.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen alkio kuuluu johonkin ekvi­valenssi­luokkaan [x]. Elleivät ekvi­valenssi­luokat [x] ja [y] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvi­valenssi­luokkien joukko muodostaa joukon X osituksen: jokainen X:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvi­valenssi­luokkaan.[7] Kääntäen jokaista X:n ositusta vastaa ekvi­valenssi­relaatio, jossa x ~ y, jos ja vain jos x ja y kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.[8]

ekvi­valenssi­relaation ominaisuuksista seuraa, että

, jos ja vain jos [x] = [y].
  • .

Graafinen esitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos ~ on joukon X ekvi­valenssi­relaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon X alkioita niin, että s ja t yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos s ~ t. Tässä esityksessä ekvi­valenssi­luokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella.[3]

Invariantit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ~ on X:n ekvi­valenssi­relaatio ja P jokin sellainen joukon X alkioiden ominaisuus, että jos x ~ y ja alkiolla x on ominaisuus P, myös alkiolla y on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta P sanotaan relaation ~ invariantiksi tai että ominaisuus P on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.

Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Jos f(x1) = f(x2 aina, kun x1 ~ x2, kuvausta f sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka luokkainvariantiksi tai lyhyemmin invariantiksi relaation ~ suhteen. Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "f on yhteensopiva relaation ~ kanssa.

Jokainen funktio f ; XY määrittelee samalla myös lähtöjoukossa X:n erään ekvi­valenssi­relaation, jossa x1 ~ x2, jos ja vain jos f(x1 = f(x2). ekvi­valenssi­luokan x muodostavat kaikki ne X:n alkiot, jotka kuvautuvat f(x):lle, toisin sanoen luokka [x] on joukon {f(x)} alkukuva. Tätä ekvi­valenssi­relaatiota sanotaan kuvauksen f kerneliksi.

Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon X ekvi­valentit alkiot (ekvi­valenssi­relaation ~x suhteen) maalijoukon Y ekvi­valenteille alkioille (ekvi­valenssi­relaation ~y suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi X:stä Y:hyn.

Tekijäavaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvi­valenssi­relaatiota vastaavat ekvi­valenssi­luokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.

Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvi­valenssi­luokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijä­avaruus on tekijä­joukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijä­avaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.


Käännös suomeksi
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Equivalence class

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Weisstein, Eric W.: "Equivalence Class." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com. Viitattu 27.10.2014.
  2. Väisälä, Jussi: ”Tekijätopologia”, Topologia II, s. 28–29. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  3. a b c Devlin, Keith: Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics (3. painos), s. 122–123. Chapman & Hall/CRS Press, 2004. ISBN 978-1-54588-449-1.
  4. Wolf, Robert S.: Proof, Logic anc Conjecture: A Mathematician's Toolbox, s. 178. Freeman, 1998. ISBN 978-0-7167-3050-7.
  5. Avelsgaard, Carol: Foundations for Advanced Mathematics, s. 127. Scott Foresman, 1989. ISBN 0-673-38152-8.
  6. Maddox, Randall B.: Mathematical Thinking and Writing, s. 77–78. Harcourt/ Academic Press, 2002. ISBN 0-12-464976-9. |
  7. Maddox, Randall B.: Mathematical Thinking and Writing, s. 74. Harcourt/ Academic Press, 2002. ISBN 0-12-464976-9. |
  8. Avelsgaard, Carol: Foundations for Advanced Mathematics, s. 74. Scott Foresman, 1989. ISBN 0-673-38152-8.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Sundstrom: Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall, 2003.
  • Smith, Eggen, St.Andre: A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole), 2006.
  • Schumacher: Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley, 1996. ISBN 0-201-82653-4.
  • O'Leary: The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall, 2003.
  • Lay: Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall, 2001.
  • Gilbert, Vanstone: An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall, 2005.
  • Fletcher, Patty: Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent.
  • Iglewicz, Stoyle: An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.
  • D'Angelo, West: Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall, 2000.
  • Cupillari: The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth.
  • Bond: Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.
  • Barnier, Feldman: Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall, 2000.
  • Ash: A Primer of Abstract Mathematics. MAA.
  • Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.