Sisätuloavaruus

Sisätulo

Sisätuloavaruus on matematiikan käsite, tarkemmin ottaen algebrallinen rakenne. Se on vektoriavaruus, jossa on lisärakenteena sisätulo. Sisätulo mahdollistaa kysymykset mm. avaruuden alkioiden välisistä kulmista ja ortogonaalisuudesta. Lisäksi sisätulo indusoi vektoriavaruuteen normin, jolla voidaan mitata alkioiden "suuruuksia" ja metriikan, jolla puolestaan voidaan mitata alkioiden välisiä etäisyyksiä.

Määritelmä

Olkoon $V$ vektoriavaruus, jonka skalaarikunta on $F$ (reaaliluvut $\mathbb{R}$ tai kompleksiluvut C). Sisätulo on kuvaus $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V \rightarrow F$, joka toteuttaa aksioomat:

• Konjugaattisymmetrisyys

$\langle f,g \rangle = \langle g,f \rangle^*\quad \forall f,g \in V$ (symboli ${}^*$ on kompleksikonjugaatti).

• Seskvilineaarisuus

$\langle a f, g\rangle = a\langle f,g\rangle \quad \forall a\in F \quad \forall f,g \in V$ ja

$\langle f, g+h\rangle = \langle f,g\rangle+\langle f,h\rangle \quad \forall f,g,h \in V$.

• Ei-negatiivisuus

$\langle f,f\rangle \ge 0 \quad \forall f \in V$

• Ei-degeneratiivisuus

$\langle f,f\rangle = 0 \,\,\, \quad \Rightarrow \quad f = 0$.

Pistetulo

Tavalliset tason ($\mathbb{R}^2$) tai kolmiulotteisen avaruuden ($\mathbb{R}^3$) vektorit muodostavat sisätuloavaruuden, jossa sisätulo on sama kuin vektorien pistetulo. Geometrisesti kahden vektorin pistetulo voidaan määritellä niiden itseisarvojen tulona kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla:

$\langle\mathbf x , \mathbf y \rangle = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} := \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right| \cos \theta$,

Pistetulo toteuttaa kaikki edellä annetut aksiomat.

Normi ja kulma yleisesti

Pistetulon geometriseen määritelmään perustuen voidaan käänteisesti määritellä vektorin itseisarvo eli normi sekä vektorien välinen kulma missä tahansa sisätuloavaruudessa. Vektorin normi määritellään neliöjuureksi sen sisätulosta itsensä kanssa:

$\left| \left| \mathbf{x} \right| \right| = \sqrt {\langle\mathbf x , \mathbf x \rangle }$

Tällöin vektorien x ja y välinen kulma $\theta$ voidaan yleisesti määritellä jakamalla niiden sisätulo niiden normien tulolla ja ottamalla saadusta osamäärästä arkuskosini:

$\theta = \arccos (\frac{\langle\mathbf x , \mathbf y \rangle}{ \left| \left| \mathbf{x} \right| \right| \left| \left| \mathbf{y} \right| \right|})$

Jos kahden vektorin sisätulo on nolla, ne ovat ortogonaaliset, mikä tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien tapauksessa merkitsee, että ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Katso myös

• kanta