Vaihdannaisuus

Wikipedia
Ohjattu sivulta Vaihdantalaki
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation operandien järjestyksellä ei ole väliä.

Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon X joukko ja a ja b sen alkioita. Operaatio \otimes : X \times X \mapsto X on kommutatiivinen, jos kaikilla a ja b toteutuu a \otimes b = b \otimes a.

Esimerkkejä kommutatiivisista operaatioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia operaatioita, sillä a + b = b + a ja c * d = d * c kaikilla luonnollisilla luvuilla a, b, c ja d.

Määritellään vektorien pistetulo: Olkoot \mathbf{x} = x_1 + x_2 + \ldots + x_n ja \mathbf{y} = y_1 + y_2 + \ldots + y_n reaalisia tai kompleksisia vektoreita. Vektorien x ja y pistetulo määritellään seuraavasti:

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n

Pistetulon määritelmästä ja kertolaskun kommutatiivisuudesta seuraa että pistetulo on kommutatiivinen:

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n = y_1 x_1 + y_2 x_2 + \ldots + y_n x_n = \mathbf{y}\cdot\mathbf{x}

Esimerkkejä ei-kommutatiivisista operaatioista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vähennyslasku ja jakolasku eivät ole kommutatiivisia operaatioita, sillä 4−3 ≠ 3−4, ja 8:2 ≠ 2:8.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]