Yhteenlasku

Yhteenlasku eli summaus on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää kaksi lukua, summattavaa, kolmanneksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme tai yksi ynnä kaksi on kolme). Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku. Kaikki laskutoimitukset perustuvat yhteenlaskuun.^lähde?

Formaali määritelmä luonnollisilla luvuilla

Yhteenlaskuoperaatio + luonnollisilla luvuilla ℕ on kuvaus + : ℕ × ℕ → ℕ, +(a, b) = c, jossa a, b, c ∈ ℕ. Tavallisesti merkitään a + b = c.

Ominaisuuksia

1. On olemassa yksikäsitteinen (luonnollinen luku) c = a + b, eli +(a,b) = c.
2. Yhteenlaskun liitäntälaki: (a + b) + c = a + (b + c), eli +((a+b),c) = +(a,(b+c))
3. Yhteenlaskun vaihdantalaki: a + b = b + a, eli +(a,b) = +(b,a)

Nämä voidaan todistaa Peanon aksioomien avulla.

Voidaan myös osoittaa, että esimerkiksi ((a + b) + c) + d = a + b + c + d, toisin sanoen, että yhteenlasku voidaan suorittaa useammallekin kuin kahdelle luvulle.

Esimerkkejä

Vaikka yhteenlasku määritellään formaalisti luonnollisille luvuille, se on usein määritelty vastaavasti myös muissa lukujärjestelmissä. Esimerkiksi vektoreita voidaan laskea yhteen.

1. Esimerkiksi kokonaisluvuille -3, -1 ja 2 pätee:
   2 + (-1) = (-1) + 2 = 1, ((-3) + (-1)) + 2 = (-3) + ((-1) + 2) = -2
2. Rationaaliluvuille m/n ja p/q yhteenlasku määritellään:
   $\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + pn}{nq}$
3. Vektorien yhteenlasku määritellään seuraavasti:
   

Olkoot ${x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ ja ${y}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa Rⁿ.

Määritellään, että ${x} + {y} = \begin{pmatrix}x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix}$.

Toisin sanoen lasketaan vektorien vastaavilla kohdilla olevat arvot yhteen.

Yhteenlasku allekkain

Yhteenlasku voidaan suorittaa paperilla ns. allekkainlaskuna.

Allekkainlaskussa luvut kirjoitetaan allekkain niin, että vastaavilla paikoilla olevat desimaalit ovat allekkain. Sitten lasketaan yhteen oikealta aloittaen vastaavat luvut.

Esimerkki:

  12                  jossa on 0 sataa, 1 kymmentä ja 2 ykköstä
+321                  jossa on 3 sataa, 2 kymmentä ja 1 ykköstä
 333                  jossa on 3 = 2 + 1 ykköstä, 3 = 1 + 2 kymmentä ja 3 = 0 + 3 sataa

Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1,...,9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan.

Esimerkki:

 7656
+5555

Aloitetaan laskeminen oikealta: 6 + 5 = 11 > 10. Nyt merkitään 6 + 5 = 1, muistiin: 1.

   1
 7656
+5555
    1

Jatketaan: 1 + 5 + 5 = 11 = 1, muistiin: 1.

  11
 7656
+5555
   11

Ja

1111
 7656
+5555
13211

Vastaavasti voidaan laskea allekkain myös useampia lukuja:

Esimerkki:

11222
 34512
 12451
 12455
 31245
 12455
+12467
115585