Peanon aksioomat

Peanon aksioomat ovat matematiikassa italialaisen matemaatikko Giuseppe Peanon esittämät yhdeksän aksioomaa, jotka määrittävät luonnolliset luvut. Aksioomat perustuvat funktioon S, jolle S(a)=a+1 (merkitään myös Sa=a+1) kaikilla luonnollisilla luvuilla a. Peanon aksioomat ovat:

1. 0 on luonnollinen luku.
2. Jokainen luonnollinen luku on yhtä suuri itsensä kanssa eli yhtäsuuruusrelaatio on refleksiivinen.
3. Jokaiselle luonnollisille luvuille a ja b a=b, jos ja vain jos b=a (yhtäsuuruusrelaatio on symmetrinen).
4. Luonnollisille luvuille a, b ja c, jos a=b ja b=c, on a=c (yhtäsuuruusrelaatio on transitiivinen).
5. Jos a = b ja b on luonnollinen luku, a on luonnollinen luku.
6. Jos a on luonnollinen luku, on Sa luonnollinen luku.
7. Jos a ja b ovat luonnollisia lukuja, a=b, jos ja vain jos Sa = Sb.
8. Jos a on luonnollinen luku, Sa ≠ 0.
9. Jokaiselle joukolle K, jos 0 kuuluu K:hon ja jokaisen K:ssa olevan alkion a seuraaja Sa kuuluu K:hon, jokainen luonnollinen luku kuuluu K:hon.

Lähteet

• Itä-Suomen Yliopisto: Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin, (Pro Gradu-tutkielma)
• Weisstein, Eric W.: Peano's Axioms (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• California State University: THE PEANO AXIOMS (luento), (englanniksi)
• David Groisser: Peano Axioms for the Natural Numbers, 2001 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Turun Yliopisto: Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta
• Joensuun yliopisto: Harjoitustehtäviä