Liitännäisyys

Liitännäisyys eli assosiatiivisuus tarkoittaa laskutoimituksen riippumattomuutta sitomisjärjestyksestä. Mielivaltainen laskutoimitus $\circ$ on liitännäinen, jos

$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

pitää paikkansa kaikille $a$, $b$ ja $c$. Tätä ominaisuutta kutsutaan myös termillä liitäntälaki.

Esimerkkejä

Esimerkiksi kokonaislukujen ja myös reaalilukujen yhteen- ja kertolasku ovat liitännäisiä laskutoimituksia, koska (a+b) + c = a + (b+c) ja (a·b) · c = (a · (b·c) kaikilla luvuilla a, b ja c. Sitä vastoin vähennys- ja jakolaskuille ei liitäntälaki päde.

Matriisien kertolasku ja vektorien ristitulo eivät ole vaihdannaisia eivätkä liitännäisiä.

Propositiologiikan JA- ja TAI-konnektiivit ovat liitännäisiä: $a \and (b \and c) = (a \and b) \and c$, ja $a \or (b \or c) = (a \or b) \or c$. Esimerkiksi JA-konnektiivin liitännäisyys nähdään seuraavasti:

$(a \and b) \and c=1$ tarkalleen silloin kun $a \and b=1$ ja $c=1_\mathbf{}$, mikä taas tarkoittaa sitä, että niin $a=1_\mathbf{}$ kuin $b=1_\mathbf{}$ ja vielä edelleen $c=1_\mathbf{}$, eli kaikkien kolmen arvona on oltava $1_\mathbf{}$. Vastaavasti $a \and (b \and c)=1$ todetaan olevan voimassa tarkalleen silloin, kun kaikkien kolmen arvona on $1_\mathbf{}$. Siis molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon $1_\mathbf{}$ tarkalleen silloin, jos kaikkien kolmen muuttujan arvona on $1_\mathbf{}$, ja muussa tapauksessa molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon $0_\mathbf{}$.

Funktioiden yhdistely on liitännäinen: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$.

Liitännäisyyden merkitys

Liitännäisyyden takia laskutoimitusten järjestystä ei tarvitse sitoa sulkumerkein, sillä kaikki mahdolliset järjestykset johtaisivat lopulta samaan lopputulokseen, ja siksi kirjallisuudessa jätetään yleensä sulut merkitsemättä tällaisissa tilanteissa. Esimerkiksi

$a \circ b \circ b \circ c$

voi tarkoittaa laskutoimitusten suorittamista vaikka järjestyksessä

$(a \circ (b \circ b)) \circ c$ tai $(a \circ b) \circ (b \circ c)$,

mutta "oikealla" tavalla ei ole merkitystä, sillä lopputulos on sama. Tästä konkreettiseksi esimerkiksi käy yllä kuvatun laskun suorittaminen kokonaislukujen kertolaskuina niin, että

$(3 \cdot (2 \cdot 2)) \cdot 7 =(3 \cdot 4) \cdot 7 =12 \cdot 7 = 84= 6 \cdot 14 = (3\cdot 2)\cdot 14 = (3\cdot 2) \cdot (2\cdot 7)$.

Katso myös

• Osittelulaki
• Vaihdannaisuus.