Jana (geometria)

Jana on geometriassa kahden pisteen suorasta erottama osa. Janaa kohdellaan geometriassa myös itsenäisenä objektina, jolloin jana piirretään alkamaan pisteesta A ja päättymään pisteeseen B. Pisteitä kutsutaan janan päätepisteiksi. Muut pisteet ovat janan sisäpisteitä. Janaa, joka alkaa pisteestä A ja päättyy pisteeseen B, kutsutaan sitä jana AB ja merkittän $\overline{AB}$ tai $AB$. Jos jana on suunnattu jana eli vektori, on kirjainen järjetyksellä merkitystä. Lukuunottamatta janan äärellistä pituutta jakaa se kaikki muut suoran ominaisuudet.

Jana AB

Kolmio, jota rajoittavat janat AB, BC ja AC

Janat tasogeometriassa

Janojen vertailua

Eri kuvioiden janat ovat euklidisessa geometriassa samat, jos ne sijaitseat siten, että janat yhtyvät toisiinsa. Analyyttisessä geometriassa samoilla janoilla on sanat päätepisteiden koordinaatit. Jos kaksi janoja vastaavat vektorit ovat saman suuntaiset ja pituiset, ovat ne samat.

Yhdensuuntaisuus voidaan aina todeta viemällä janat päällekkäin. Jos ne peittävät toisensa niin, että toinen peittää toisen kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset. Jos molemmat peittävät toisensa kokonaan, ovat janat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Pituuksia voidaan verrata toisiinsa absoluuttisesti pituuksien erotuksella tai suhteellisesti pituuksien osamäärällä.

Janojen sisäpisteitä

Kaikki päätepisteiden välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Analyyttisessä geometriassa sisäpisteen koordinaatit voidaan ilmaista parametrimuotoisella yhtälöparilla:

$x=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$

$y=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2,$

missä $0<\lambda <1.$ Janan keskipiste sijaitsee yhtä kaukana kummastakin päätepisteestä ja silloin $\lambda = \tfrac{1}{2}$ ja

$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$

$y=\frac{y_1 + y_2}{2}.$

Lähteet

• Väisälä K.: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).

• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) 2012. Turun yliopisto Viitattu 14.12.2012.

• Weisstein, Eric W.: Line Segment (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

• Weisstein, Eric W.: Line (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

• Weisstein, Eric W.: Interval (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

• Weisstein, Eric W.: Ray (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)