Lineaarialgebra

Wikipedia

Lineaarialgebra on matematiikan osa-alue, joka tutkii vektoreita, vektoriavaruuksia, lineaarikuvauksia ja lineaarisia yhtälöryhmiä. Vektoriavaruudet ovat eräs nykymatematiikan keskeisimpiä teemoja, ja siksi lineaarialgebraa tarvitaan sekä abstraktissa algebrassa että funktionaalianalyysissä.

[muokkaa] Käsitteitä

Eräs keskeisistä käsitteistä on lineaarinen riippuvuus: Perhe on lineaarisesti riippumaton, jos propositio toteutuu vain kun kaikki kertoimet c_i ovat nollia.

Teknisesti tärkeä käsite on kanta. Perhe on vektoriavaruuden V kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja jokainen V:n alkio v voidaan esittää lineaarikombinaationa kantavektoreista: , missä kertoimet c_i kuuluvat annettuun kuntaan. Lineaarinen riippumattomuus takaa että kertoimet c_i ovat yksikäsitteiset. Kanta on siis vektoriavaruuden minimaalinen virittäjäperhe.

Eräs kannan sovellutus seuraa välittömästi lineaarioperaattorin tarkastelemisesta. Operaattorin nolla-avaruus eli ydin on V:n vektorialiavaruus ja kuva-avaruus puolestaan W:n vektorialiavaruus. Jos avaruuksille V,W tunnetaan kannat, voidaan niistä muodostaa (mahdollisesti suppeammat) kannat, jotka ilmaisevat kyseiset aliavaruudet.

Numeerisessa laskennassa käsitellään lähes aina reaalilukuvektoreita, ja nämä ovat tavallisesti tapoja ilmaista yksikäsitteisesti vektoriavaruuden alkioita jonkin kannan suhteen. Huomaa, että itse avaruuksien alkiot voivat olla jotain aivan muuta kuin reaalilukuvektoreita!

[muokkaa] Historiaa

Modernin lineaarialgebran synty sijoittuu vuoteen 1843, jolloin irlantilainen matemaatikko William Rowan Hamilton löysi kvaterniot. Vuonna 1844 Hermann Grassmann julkaisi kirjansa Die lineare Ausdehnungslehre.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia. Voit auttaa laajentamaan myös muita samankaltaisia artikkeleita.