Isomorfismi

Matematiikassa isomorfismi on Algebrallisten rakenteiden välinen kuvaus, joka säilyttää laskutoimituksen tai -toimitukset. Epämuodollisesti kuvaten kaksi isomorfista rakennetta ovat sama asia eri tavalla nimettynä.

Matemaattisesti sanoen isomorfismi on bijektiivinen kuvaus f, jolle sekä f että f⁻¹ ovat homomorfismeja.

Esimerkkejä

Tyyppiesimerkki on reaalilukujen yhteenlaskun ja positiivisten reaalilukujen kertolaskun välinen yhteys eksponenttifunktiolla, "tulon logaritmi on tekijöiden logaritmien summa". Täsmällisesti määritellen $(\mathbb{R}, +)$ ja $(\mathbb{R}_+, \times)$ ovat ryhmiä. Valitaan funktiota $f$ varten jokin kantaluku, vaikkapa 10. Tällöin $f(x)=10^x$ ja $f^{-1}(x)=log_{10}(x)$. Nyt

$f(a+b)=f(a) \times f(b)$

ja

$f^{-1}(a \times b)=f^{-1}(a)+f^{-1}(b)$

eli esimerkiksi $10^{2+3}=10^2 \times 10^3$. Ryhmät ovat sama asia sikäli, ettei niitä voi erottaa toisistaan näkemällä pelkästään millä tavalla laskutoimitus operoi ryhmän sisällä.

Äärellinen esimerkki: Olkoon joukko $A$ kokonaisluvut väliltä 1-10 ja laskutoimitus $max$, jonka arvo on luvuista suurempi. Olkoon joukko $B$ kokonaisluvut väliltä 11-20 ja laskutoimitus $min$, jonka arvo on luvuista pienempi. Nyt $(A, max)$ ja $(B, min)$ ovat algebrallisia rakenteita, tarkemmin sanoen vaihdannaisia monoideja. Olkoon funktio $f(n)=21-n$. Se on samalla itsensä käänteisfunktio. Tämä funktio on bijektio ja mainittujen monoidien välinen isomorfismi.

Määritellään ensin kolmen ja kanden alkion ryhmät $(\mathbb{Z}_3, +)$ ja $(\mathbb{Z}_2, +)$. Laskutoimitus $+$ tarkoittaa yhteenlaskua, jonka tuloksesta otetaan jakojäännös ryhmän koolla. Taulukkomuodossa ryhmät näyttävät tältä:

Kolmen alkion ryhmä

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Kahden alkion ryhmä

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Laaditaan sitten pareittainen yhteenlaskutaulukko, jossa alkiot ovat pareja 3- ja 2-alkioisesta ryhmästä. Verrataan tätä ryhmään $(\mathbb{Z}_6, +)$, mutta ei merkitä alkioita 0-5 järjestyksessä. Värjätään alkioiden (2,0) ja 2 tausta keltaiseksi, jolloin osa rakennetta tulee selvemmin esille.

Alkioparien ryhmä

+	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)	(2,0)	(2,1)
(0,0)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)	(2,0)	(2,1)
(0,1)	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)	(2,1)	(2,0)
(1,0)	(1,0)	(1,1)	(2,0)	(2,1)	(0,0)	(0,1)
(1,1)	(1,1)	(1,0)	(2,1)	(2,0)	(0,1)	(0,0)
(2,0)	(2,0)	(2,1)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(2,1)	(2,1)	(2,0)	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)

Kuuden alkion ryhmä

+	0	3	4	1	2	5
0	0	3	4	1	2	5
3	3	0	1	4	5	2
4	4	1	2	5	0	3
1	1	4	5	2	3	0
2	2	5	0	3	4	1
5	5	2	3	0	1	4

Ryhmät ovat keskenään isomorfiset. Esimerkiksi lukuja 0, 1 ja 2 vastaavat parit (0,0), (1,1) ja (2,0).

Käyttö

Matemaatikot käyttävät isomorfismia usein säästääkseen työtä. Jos kahden ennestään tuntemattoman matemaattisten struktuurien välille löydetään sopiva isomorfismi, voidaan monet lauseet siirtää toista struktuuria koskevaksi. Samoin uudessa ympäristössä ongelmaan voidaan löytää uusia ratkaisukeinoja ja käyttää hyväksi alkuperäisen struktuurissa hyväksi havaittuja ratkaisukeinoja.