Algebrallinen rakenne

Algebrassa algebrallisella rakenteella tarkoitetaan joukkoa, jossa on määritelty yksi tai useampi laskutoimitus. Esimerkkejä algebrallisista rakenteista ovat:

• magma eli grupoidi, jossa edellytetään vain, että jokin joukon sisäinen laskutoimitus on olemassa;
• puoliryhmä, jossa lisäksi edellytetään, että laskutoimitus on liitännäinen;
• monoidi, jossa laskutoimitus on liitännäinen ja siihen liittyy neutraalialkio (nolla-alkio);
• ryhmä, jossa lisäksi edellytetään, että jokaisella alkiolla on vasta-alkio;
• Abelin ryhmä, ryhmä, jossa on voimassa myös vaihdantalaki;
• rengas, jossa on kaksi laskutoimitusta, yhteen- ja kertolasku, joista toisen suhteen rengas on Abelin ryhmä ja jotka sitoo toisiinsa osittelulaki
• puolirengas, jossa myös on kaksi laskutoimitusta, mutta yhteenlaskun suhteen ei jokaisella alkiolla tarvitse olla vasta-alkiota
• kokonaisalue, rengas, jossa ei ole nollantekijöitä
• kunta, rengas, jossa jokaisella alkiolla nollaa lukuun ottamatta on myös kertolaskun suhteen olemassa käänteisalkio.

Esimerkiksi luonnolliset luvut muodostavat monoidin, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku. Kokonaisluvut muodostavat yhteenlaskun suhteen ryhmän ja samalla renkaan ja kokonaisalueen, jossa laskutoimituksina ovat yhteen- ja kertolasku. Rationaaliluvut muodostavat kunnan, joka on laajemman reaalilukujen kunnan alikunta. Mutta algebrallisten rakenteiden alkiot eivät välttämättä ole lukuja, vaan esimerkiksi ryhmän alkiot voivat olla myös jossakin joukossa määriteltyjä, tietyt ehdot täyttäviä kuvauksia, jolloin laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen.