Vastaluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vastaluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun yhteenlaskuun, jonka tulokseksi saadaan nolla

a + b = 0 \quad \Leftrightarrow \quad a = 0-b = -b \quad \Leftrightarrow \quad b = 0 - a = -a.

Tällöin tällöin sanotaan, että molemmat luvut a ja b ovat toistensa vastalukuja ja ne sijaitsevat lukusuoralla yhtä kaukana nollapisteestä.

Edellinen esitys on koulumatematiikassa monelle tutuksi tullut määritelmä. Matematiikassa lukua nolla pidetään yhteenlaskuun liittyvänä kokonaislukujoukon neutraalialkiona eli 0-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 0-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan additiivisia.

Luonnolliset luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luonnollisilla luvuilla ei ole vastaluvun käsitettä, sillä kahden luonnollisen luvun summa ei koskaan tule nollaksi, joka on lukujoukon pienin luku (jos se luetaan luonnolliseksi luvuksi). Binäärioperaatiossa summan arvo on aina suurempi kuin kumpikaan operandi.

Kokonaisluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jossakin vaiheessa matematiikan historiaa otettiin käyttöön negatiiviset luvut, jotta vähennyslaskua voitiin soveltaa rajoituksetta luonnollisille luvuille. Jos vähennettävä on suurempi kuin vähentäjä, tulee erotukseksi positiivinen luku. Näin on, kun lasketaan esimerkiksi 5-2=3. Jos vähentäjä on suurempi kuin vähennettävä, merkitään erotukseksi vastaluku. Näin käy esimerkiksi, kun 2-5=-3. Vastaluvun merkkinä oleva miinus (-) lienee vähennyslaskusta peräisin.

Kokonaislukujen joukko on muodostettu lisäämällä luonnollisiin lukuihin negatiiviset luvut. Negatiiviset luvut sisältävät jokaisen luonnollisen luvun vastaluvun eli negaation. Kokonaislukujen joukko onkin yksinkertaisin lukujoukko, jossa vastaluvut ovat olemassa. Jos kokonaislukuja kuvataan lukusuoralla olevilla pisteillä, sijoittuvat vastaluvut nollapisteestä katsottuna yhtä etäälle positiivisten- tai negatiivisten lukujen puolille. Luvun etäisyys nollasta kutsutaan luvun itseisarvoksi, jolloin positiivisuus ja negatiivisuus ovat luvun itseisarvoon liitettäviä erottelevia lisämääreitä.

Positiivisesta luvusta voidaan tehdä negatiivinen liittämällä sen eteen miinusmerkki. Etumerkkiä voidaan pitää unaarioperaationa, jolla positiivinen luku muutetaan vastaluvukseen (-(3)=-3). Kun negatiivisen luvun vastaluku on sen positiivinen itseisarvo, toimii miinusmerkki negatiivisen luvun eteen laitettuna vastalukuoperaationa (-(-3)=3). Tämä voidaan ilmaista yleisesti positiiviselle kokonaisluvulle a, joka ei ole nolla. Tällöin merkintä

-(a)=-a tarkoittaa positiivisen luvun vastalukua.
-(-a)=a tarkoittaa negatiivisen luvun vastalukua.

Alkuperäisen määritelmän mukaan toisilleen vastalukuina olevien lukujen summa on nolla

a + (-a) = 0

johtaa tulokseen, että vastaluku on aina luvun negaatio

a + (-a) = 0 \Leftrightarrow a = a

ja luvulla on vain yksi vastaluku.

Nolla on ainoa kokonaisluku, jolla vastalukua ei ole. Tämä sopimus on tehty siksi, ettei nollan negaatiolla ole käytännön merkitystä ja koska nolla itseisarvokin on nolla.

Rationaaliluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotta kokonaislukujen jakolasku olisi aina laskettavaissa, laajennettiin kokonaislukujen joukkoa kaikilla kokonaislukujen suhteilla. Näin muodostettiin rationaaliluvut. Osamäärään voitiin valita sekä negatiivisia että positiivisia lukuja, joten on sovittava rationaaliluvun merkki. Jos osamäärässä jaettava ja jakaja ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia, tuli luvusta positiivinen. Jos taas osamäärä muodostettiin erimerkkisistä luvuista, tuli osamääräksi negatiivinen.

Myös rationaaliluvut muodostuvat positiivisista luvuista ja näiden vastaluvuista. Mukana on lisäksi nolla, jolla ei ole vastalukua.

Reaaliluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaaliluvut irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on myös vastalukunsa, joten reaaliluvut ovat vastalukujen suhteen samantyyppinen lukujoukko kuin rationaaliluvut.

Kompleksiluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla muodostetuilla kompleksiluvuilla. Kompleksiluvun z=a+bi, missä a ja b ovat reaalilukuja ja i on imaginaariyksikkö, vastaluku on:

-{z}=-a-bi

Määritelmä ehto toteutuu, koska

z + (-z) = (a+bi) + (-a -bi) = (a - a) + (bi - bi) = 0

Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla, eli

 z = re^{i\theta } = r\cos \theta + ir\sin \theta, \

niin sen vastaluku on

 -z = re^{i(\theta +\pi) } = -re^{i\theta } = -r\cos \theta - ir\sin \theta. \

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]