Kokonaisluku

Kokonaisluvut ovat arkipäiväiset luvut, joilla yleensä ilmoitetaan kohteiden lukumäärää. Määritelmä on sama kuin luonnollisilla luvuilla sillä erolla, että kokonaislukuihin luetaan positiivisten lukujen lisäksi myös luku nolla ja negatiiviset luvut. Kokonaislukujen negatiivisuudella on käyttöä lähinnä matematiikassa, vaikka negatiivisia reaalilukuja käytetään arjessa melko sujuvasti. Puhekielessä käytetään kokonaislukuja samassa merkityksessä kuin luonnollisia lukuja.

Kokonaislukuihin luetaan luvut $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...\}.$ Matematiikassa kokonaislukuja merkitään kapiteelikirjaimella $\mathbb{Z}$. Luonnolliset luvut ovat kokonaislukujen osajoukko, jota voidaan merkitä joko tunnuksella $\mathbb{N}$ tai $\mathbb{Z}_+$. Näitä kutsutaan positiivisiksi kokonaisluvuiksi $\{1, 2, 3, \dots\}.$ Näiden vastaluvut ovat negatiiviset kokonaisluvut $\mathbb{Z}_- = \{-1, -2, -3, \dots\}.$ Kun mukaan otetaan myös nolla, voidaan kokonaislukujen joukko esittää yhdisteenä $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_+ \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}_-.$

Koska lukuteorian historiassa on käsitelty kokonaislukujen osajoukkoja, on paikallaan esitellä niiden nimityksiä. Ne pääsääntöisesti kiertävät sen tosiasian, että nolla ei ole positiivinen- tai negatiivinen luku.

• Positiiviset luvut: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$
• Ei-negatiiviset luvut: $\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$
• Negatiiviset luvut: $\{...-4, , -3, -2, -1\}$
• Ei-positiiviset luvut: $\{...-4, , -3, -2, -1, 0\}$

Johdanto

Koska kokonaisluvut ovat joukko-opillinen laajennus luonnollisista luvuista, perivät kokonaisluvut suuren osan luonnollisten lukujen ominaisuuksista. Kokonaislukujen ominaisuudet onkin helppo ymmärtää, kun ensin tuntee luonnollisten lukujen ominaisuudet ja rajoitteet.

Pääartikkeli: Luonnollinen luku

Menneisyydessä vähennyslaskussa syntyi helposti tilanne, jossa vastausta ei saatu normaalilla tavalla. Vaikka erotuksella selvitetään lukujen suuruuseroa, halutaan joskus laskea erotus "nurinpäin". Jos verrataan lausekkeiden $3-7$ ja $7-3$ tuloksia, tulee vain jälkimmäisestä tulokseksi neljä. Edellinen lauseke yrittää vähentää kolmosesta liikaa ja vähennyslasku "epäonnistuu". Näitä lausekkeita kutsuivat muinaiset laskijat "absurdeiksi".

Ne laskijat, jotka näkivät ensimmäisenkin lausekkeen hyödyllisyyden, sopivat vain, että erotuksen arvo on neljä tappiota tai velkaa. Myöhemmin tämä merkittiin neljän negaationa eli "miinus neljä" ( -4). Näin laajennettiin kokonaislukuja liittämällä siihen jokaisen luvun negaation. Negatiivisuus koski luonnollisesti myös muita laskuissa käytettäviä lukuja.

Lukujoukko

Lukujoukon laajennuksena

Koska kokonaisluvut ovat laajennus luonnollisista luvuista, ovat jälkimmäiset kokonaislukujen osajoukko. Silloin voidaan merkitä $\N \subset \Z$ tai $\N_0 \subset \Z$, jos nolla sisällytetään luonnollisiin lukuihin.

Järjestetty joukko

Koska kokonaisluvut edustavat lukumäärää, on se samalla tavalla järjestetty joukko kuin luonnolliset luvut, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kahta lukua verrataan keskenään, saadaan aina joko $a < b \,$ tai $a = b \,$ tai $a > b \,$. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin $a < b \,$ ja $b < c \,$, niin silloin voidaan päätellä myös, että $a < c \,$. Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että kokonaisluvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko.

Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisäännöt

Ikiaikainen luonnollisten lukujen vähennyslasku voidaan esittää positiivisen ja negatiivisen luvun summana. Vähentäjä muutetaan vastaluvuksi ja vähennyslaskun miinus-merkki vaihdetaan yhteenlaskun plus-merkiksi:

$a-b=a+(-b)$

Muunos voidaan suorittaa myös toiseen suuntaan, jolloin hankalasti hahmottuvat negatiivisten laskujen merkkisäännöt voidaan luontevasti laskea päässä yhteen- ja vähennyslaskujen avulla. Myös negatiivisen luvun vähennyslaskun muunnos yhteenlaskuksi

$a-(-b)=a+b$

voidaan selittää samalla tavoin eli, että vähennyslaskun $-b$:n muutetaan vastaluvun $b$ yhteenlaskuksi. Edellisistä kahdesta tapauksesta saadaan koulussa opetetut muistisäännöt:

$+(-b) \rightarrow -b$

$-(-b) \rightarrow +b$

Kokonaislukujen algebra

Seuraavat laskutoimitukset ovat voimassa kokonaisluvuilla. Olkoot $a, b, c \in \mathbb Z$. Tällöin voidaan laskea yhteen- ja kertolaskuja vaihtoehtoisesti seuraavilla tavoilla, aivan kuten luonnollisillakin luvuilla:

• $a + (b + c) = (a + b) + c \,$ (yhteenlaskun liitäntälaki)
• $a(bc) = (ab)c \,$ (kertolaskun liitäntälaki)
• $a + b = b + a \,$ (yhteenlaskun vaihdantalaki)
• $ab = ba\,$ (kertolaskun vaihdantalaki)
• $a(b + c) = ab + ac \,$ (Osittelulaki)
• $a + 0 = a \,$ (luku 0 on yhteenlaskun neutraalialkio)
• $1a = a \,$ (luku 1 on kertolaskun neutraalialkio)

Luonnollisista luvuista poiketen, kokonaisluvuille on olemassa käänteisalkiot, eli yhteenlaskussa vastaluvut, jokaiselle luvulle paitsi nollalle, joka on neutraalialkio.

Kokonaislukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun laskun tulos kuuluu kokonaislukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun $a$ ja $b$ summa $a+b$ on aina joko positiivinen- tai negatiivinen kokonaisluku tai nolla ja summa kuuluu siten kokonaislukuihin. Sama ominaisuus on myös kertolaskulla. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen.

Edelleen, koska molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia eli toteuttavat liitännäislain, sanotaan, että $(\Z,+)$ on yhteenlaskun suhteen ja $(\Z,\cdot)$ kertolaskun suhteen monoidi. Koska jokaisen luvun vastaluku eli yhteenlaskun käänteisalkio kuuluu kokonaislukuihin, kutsutaan $(\Z,+)$ myös ryhmäksi. Erityisesti se on Abelin ryhmä, koska yhteenlasku on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kertolaskun suhteen kokonaisluvuilla ei ole käänteisalkioita eli käänteislukuja, joten $(\Z,\cdot)$ ei muodosta ryhmää.

Mahtavuus

Kokonaislukuja on ääretön määrä. Matematiikassa voidaan verrata kahta lukujoukkoa ja päätellä, kummassa on enemmän alkioita, vai onko niitä yhtä paljon. Georg Cantor osoitti vertailemalla kokonaislukuja luonnollisiin lukuihin niiden olevan yhtä mahtavia joukkoja. Hän aloitti vertailun järjestämällä ensin kokonaisluvut itseisarvoltaan kasvavaksi jonoksi: $\{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}=\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\}$. Tämän jälkeen hän "numeroi" jokaisen kokonaisluvun luonnollisella luvulla eli kirjasi vastaavuudet: $0 \leftrightarrow 0, 1 \leftrightarrow 1, 2 \leftrightarrow -1, 3 \leftrightarrow 2, 4 \leftrightarrow -2, \dots.$ Lopulta hän totesi, että jokaiselle kokonaisluvulle (etumerkistä huolimatta) voidaan osoittaa luonnollinen luku pariksi, joten molemmat lukujoukot ovat yhtä mahtavat. Tämä voidaan merkitä $card(\N)=\aleph_0 = \infty=card(\Z)$ ja sanoa, että kokonaisluvut ovat numeroituvasti ääretön joukko.

Historiaa

Luonnollisia lukuja kutsuttiin ennen kokonaisluvuiksi, mutta negatiivisten lukujen lisääminen kokonaislukuihin motivoi nimeämään positiiviset kokonaisluvut luonnollisiksi luvuiksi. Negatiivisia lukuja alettiin käyttämään matematiikassa varsin myöhään. Nollan lisääminen luonnollisiin lukuihin aiheutti matemaatikoissa alkuksi kiistoja, mutta kokonaisluvuissa nolla on ollut alusta lähtien.

Pääartikkeli: Negatiivinen luku

Pääartikkeli: Nolla

Katso myös

• OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Lähteet

• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suom. Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
• Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
• Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suom. Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.

Lukujoukkoja