Georg Cantor

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Georg Cantor
Matematiker georg cantor.jpg
Syntynyt 3. maaliskuuta 1845
Pietari, Venäjä
Kuollut 6. tammikuuta 1918 (72 vuotta)
Halle, Saksa
Asuinpaikka Venäjä (1845–56)
Saksa (1856-1916)
Tutkimusala matematiikka
Instituutti Hallen yliopisto
Tutkinnot ETH Zurich
Berliinin yliopisto (väit. 1867)
Tunnetuimmat työt joukko-oppi

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3. maaliskuuta 18456. tammikuuta 1918) oli saksalainen matemaatikko, joka tunnetaan parhaiten joukko-opin luojana.[1]

Elämä ja ura[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Georg Cantor syntyi Pietarissa Venäjällä. Perhe muutti Frankfurtiin vuonna 1856. Isä toivoi Cantorin opiskelevan insinööriksi. Hän alotti opinnot [[ETH Zürich]issa 1862, mutta sai isältään luvan vaihtaa pääaineen matematiikkaan. Hän jatkoi opintojaan Berliinissä, vietti välillä lukukauden Göttingenissä ja väitteli Berliinissä 1867.[2] Hänestä tuli nopeasti Hallen yliopiston tuntiopettaja, sitten apulaisprofessori ja vuonna 1879 professori.[1] Professorin viran saaminen vain 34-vuotiaana oli harvinaista, mutta Cantor haaveili virasta suuremmissa yliopistoissa kuten Berliinissä.[3]

Cantor on tullut kuuluisaksi erityisesti äärettömien joukkojen mahtavuutta koskevista tutkimuksistaan. Ensimmäisen äärettömyyden ongelmia käsittelevän kirjoituksensa hän julkaisi vuonna 1874. Siinä hän esittää luokittelun äärettömille joukoille ja äärettömien kardinaali- ja ordinaalilukujen aritmetiikan.

Cantor määritteli joukkojen mahtavuuden käsitteen tarkastelemalla joukkojen välisiä yksi-yhteen kuvauksia. Kahta joukkoa voidaan pitää keskenään yhtä mahtavina, jos niiden välille voidaan määrittää yksi-yhteen kuvaus. Jokaisella äärellisellä joukolla on se ominaisuus, että se on mahtavampi kuin mikä tahansa sen aito osajoukko. Ääretön joukko sen sijaan voi olla yhtä mahtava kuin sen aito osajoukko. Esimerkiksi kaikkien luonnollisten lukujen joukko \mathbb{N} on yhtä mahtava, kuin parillisten luonnollisten lukujen joukko 2\mathbb{N}.

Kahden joukon välinen kuvaus.

Cantor osoitti, että algebrallisten lukujen joukon mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen. Kokonaislukukertoimiselle polynomille voidaan nimittäin määritellä korkeus, joka on polynomin asteluvun ja sen kertoimien itseisarvojen summa. Kutakin korkeutta kohden on olemassa ainoastaan äärellinen määrä algebrallisia lukuja, jotka saadaan kyseistä korkeutta olevien polynomien nollakohtina.

Äärettömien joukkojen mahtavuutta tarkastellessaan Cantor havaitsi, että kaikkien äärettömien joukkojen mahtavuuden ei tarvitse olla sama, toisin kuin häntä ennen oli ajateltu. Cantor onnistui osoittamaan, että esim. reaalilukujen joukko \mathbb{R} on mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko \mathbb{N}. Tähän hän päätyi mm. diagonaalikonstruktiollaan.

Cantorin tuloksista seuraa, että kaikki reaaliluvut eivät ole algebrallisia. Ei-algebrallisia reaalilukuja (ja kompleksilukuja) sanotaan transkendenttiluvuiksi. Jonkin aikaa olikin ongelmana, että näitä lukuja tiedettiin olevan olemassa, mutta niitä ei heti onnistuttu konstruoimaan. Transkendenttilukujen tutkimus on nykyään merkittävä algebrallisen lukuteorian tutkimushaara.

Cantor osoitti, että annetun joukon potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko on aina mahtavampi kuin joukko itse. Tällä tavalla hän sai muodostettua äärettömien joukkojen jonon \mathbb{N}, P(\mathbb{N}), P(P(\mathbb{N})),... jossa jokainen uusi joukko on aina edeltäjäänsä mahtavampi.

Cantor otti käyttöön lyhyet merkinnät eo. jonon kardinaaliluvuille, ts. yhtä mahtavien joukkojen kokoelmille. Pienintä ääretöntä eli luonnollisten lukujen joukon kardinaalilukua hän merkitsi heprealaisella alef-kirjaimella varustettuna alaindeksillä 0, ts. \alef_0, luonnollisten lukujen potenssijoukon kardinaalilukua \alef_1 jne.

Cantorin onnistui osoittaa, että reaalilukujen joukon kardinaaliluku on yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen joukon kaikkien osajoukkojen kokoelman kardinaaliluku. Pyrkiessään osoittamaan tämän ensimmäiseksi ylinumeroituvaksi kardinaaliluvuksi hän päätyi esittämään ns. kontinuumihypoteesin. Hypoteesin mukaan ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus olisi suurempi kuin luonnollisten lukujen joukon numeroituva äärettömyys, mutta pienempi kuin sen osajoukkojen kokoelman. Lukuisista yrityksistä huolimatta kontinuumihypoteesia ei onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Sen sijaan nykyisin tiedetään (Gödel, 1938, ja Cohen, 1963), että kumpikaan vaihtoehto ei ole ristiriidassa joukko-opin aksioomien kanssa. Näin ollen kontinuumihypoteesia ei voida joukko-opin aksioomien perusteella todistaa eikä kumota. Se on niistä riippumaton.

Cantorin ajatukset kohtasivat matemaatikkopiireissä runsaasti vastustusta. Cantorin vastustajista tunnetuimpia oli Leopold Kronecker. Henri Poincarén väitetään sanoneen Tulevat sukupolvet yoteavat, että joukko-oppi oli sairautta, josta olemme onneksi parantuneet.[3] Osaksi vastustuksen voidaan katsoa johtuneen matemaatikoiden piintyneistä ajatustavoista ja ennakkoluuloista. Joukon käsitteen epämääräisyys antoi kuitenkin pian aihetta myös vakaville vastaväitteille. Merkittävät loogiset paradoksit, joista tunnetuimpia lienee Russellin paradoksi osoittivat 'liian suuriin' joukkoihin liittyvän erittäin vakavia loogisia ongelmia. Russellin paradoksi syntyy, kun ajatellaan muodostettavaksi joukon, jonka alkioina ovat ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita. Tällöin kyseinen joukko on itsensä alkio jos ja vain jos se ei ole itsensä alkio. Paradoksien vuoksi matemaatikoiden oli lähdettävä etsimään joukko-opille sellaista aksiomaattista perustaa, jonka avulla paradoksit tai niitä aiheuttavat joukot voitaisiin sulkea teoriasta pois. Saksalainen Ernst Zermelo (1871–1956) pyrki pelastamaan joukko-oppia aksiomaattista lähestymistapaa kehittäen. Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead ja kehittivät Principia Mathematica -teoksessaan (1910–1913) samaan tarkoitukseen joukkoja luokittelevan tyyppiteorian.

Cantorin ajatuksia vastustivat myös filosofit, kuten Wittgenstein, ja jopa jotkut teologit, joiden mielestä äärettömyyden määrittely muuttaa käsitystämme Jumalasta. Cantor itse oli hyvin uskonnollinen mies.[3]

Cantor otti teoriaansa kohdistuneen kritiikin hyvin vakavasti, ja pyrki tukemaan nuoria tieteenharjoittajia yliopistomaailmassa.[1]

Paheneva mielisairaus haittasi hänen elämäänsä vuodesta 1884 alkaen.[1] Hänen äitinsä, veljensä ja pienen poikansa kuolemat aiheuttivat lisää stresisä. Cantor oli ajoittain virkavapaalla opetustyöstä, ja vietti aikaansa parantoloissa vuodesta 1899 alkaen. Aina välillä hän kuitenkin palasi töihin. Hän kirjoitti julkaisuja myös kirjallisuudentutkimuksen, filosofian ja uskonnon alueilta. Cantor jäi eläkkeelle 1913 ja kuoli sydänkohtukseen 1918.[2]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Georg Cantor Encyclopedia Britannica. Viitattu 21.10.2014.
  2. a b Georg Cantor The MacTutor History of Mathematics archive. 1998. University of St Andrews Scotland.. Viitattu 21.10.2014.
  3. a b c Georg Cantor The Story of Mathematics. Viitattu 21.10.2014.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Scotland. (englanniksi)