Cantorin joukko

Cantorin joukko on matematiikassa saksalaisen matemaatikon Georg Cantorin vuonna 1883 esittämä merkittävä välillä [0,1] olevien lukujen konstruktio.

Määritelmä

Cantorin joukko määritellään siten, että yksikköväli [0,1] jaetaan kolmeen yhtäsuureen osaan ja väleistä keskimmäinen poistetaan. Sitten jäljelle jääneet välit [0, 1/3] ja [2/3, 1] jaetaan kolmeen yhtäsuuren osaan ja näistä keskimmäiset poistetaan. Tätä toistetaan äärettömän monta kertaa. Cantorin joukko koostuu jäljelle jääneistä välin [0, 1] pisteistä.

Prosessin kuusi ensimmäistä vaihetta on kuvattu alla:

Joukon mitta

Koska Cantorin joukko on määritelty väleinä, jotka poistetaan konstruktiossa, Cantorin joukon Lebesguen mitta voidaan laskea poistettujen välien pituuksien avulla. Tämä saadaan geometrisena sarjana

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1,$

joten Cantorin joukon Lebesguen mitta on 1 – 1 = 0. Toisaalta voidaan huomata, että jokaisella askeleella Cantorin pituus pienenee 2/3 osaan edellisestä pituudesta, joten Cantorin joukon pituus on ääretön tulo 2/3 × 2/3 × 2/3 × ..., joka on siis 0. Cantorin joukon Hausdorffin dimensio on $s = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}63$ ja tällä dimensiolla vastaava Hausdorffin mitta Cantorin joukosta on 1.

Mitä Cantorin joukkoon kuuluu?

Aluksi saattaa näyttää hämmentävältä, että poistoissa jää jäljelle ylipäänsä mitään, sillä poistettujen välien yhteispituus on 1 eli sama kuin alkuperäisen välin. Tarkemmin katsottuna jäljelle jää kuitenkin pisteitä, sillä keskimmäinen poistettu kolmannes on avoin joukko eli sen päätepisteitä ei poisteta. Siten poistamalla jana (1/3, 2/3) alkuperäisestä välistä [0, 1] jää jäljelle pisteet 1/3 ja 2/3. Seuraavatkaan poistot eivät poista näitä pisteitä, sillä poistettu väli kuuluu aina toisen välin sisälle. Samaan tapaan voidaan osoittaa, että esimerkiksi murtoluvut 1/9, 2/9, 7/9 ja 8/9 kuuluvat Cantorin joukkoon, niin myös 1/27, 2/27, 25/27, 26/27, 1/81, 2/81, 79/81, 80/81 ja yleensäkin muotoa $\frac{1}{3^n}$, $\frac{2}{3^n}$, $\frac{3^n-2}{3^n}$ ja $\frac{3^n-1}{3^n}$ olevat murtoluvut. Lisäksi siihen kuuluu muitakin murtolukuja, joiden nimittäjä on kolmen potenssi, joskaan eivät kaikki tällaiset murtoluvut. Siten Cantorin joukko ei ole tyhjä.

Cantorin joukkoon kuuluu kuitenkin myös suuri joukko irrationaalilukuja. Voidaan myös osoittaa, että se on ylinumeroituva, eli se on aidosti mahtavampi joukko kuin luonnollisten lukujen joukko $\mathbb{N}$. Todistus perustuu siihen, että Cantorin joukon pisteet voidaan esittää 3-kannassa desimaaliesityksinä, joissa ei ole mukana ykkösiä (vain 0 ja 2). Tämän jälkeen ylinumeroituvuus voidaan todistaa Cantorin diagonaaliesityksen tapaan.

Dynaaminen iterointiin perustuva tulkinta

Cantorin joukolle voidaan antaa myös dynaaminen iterointiin perustuva määritelmä, joka on vastaavanlainen kuin esimerkiksi se tapa, jolla Mandelbrotin joukko yleensä määritellään.

Olkoon $\mathbf{}T: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kuvaus, joka on määritelty niin, että

$\mathbf{}T(x)=\Big\{ \begin{array}{ll}3x & \textrm{kun}\ x\leq 1/2 \ \textrm{ja} \\3-3x & \textrm{kun}\ x>1/2.\end{array}$

Kyseessä on siis "sahalaita-kuvaaja", jolla $\mathbf{}T(x)\geq 0$ tarkalleen silloin kun $\mathbf{}x\in [0,1]$, se saa maksimiarvonsa $\mathbf{}3/2$ pisteessä $\mathbf{}x=1/2$ ja arvon $\mathbf{}0$ pisteissä $\mathbf{}x=0$ ja $\mathbf{}1$, ja lisäksi $\mathbf{}T(x)$ lähestyy raja-arvoa $\mathbf{}-\infin$ ("miinus ääretön"), kun $\mathbf{}x$ lähestyy raja-arvoa $\mathbf{}\infin$ tai $\mathbf{}-\infin$.

Määritellään reaaliluvun $\mathbf{}x$ positiivinen rata kuvauksen $\mathbf{}T$ suhteen nyt niiden reaalilukujen joukoksi, jonka alkiot on saatu iteroimalla arvoa $\mathbf{}x$ kuvauksella $\mathbf{}T$ mielivaltaisen monta kertaa, eli kyseessä ovat luvut $\mathbf{}\{x,T(x),T(T(x)), T^{3}(x), T^{4}(x),\cdots \}$, missä $\mathbf{}T^{n}(x)$ on lyhennysmerkintä sille, että arvoa $\mathbf{}x$ on iteroitu $\mathbf{}n$ kertaa, jolloin esimerkiksi $\mathbf{}T^{4}(x)$ tarkoittaa arvoa $\mathbf{}T(T(T(T(x))))$. (Lisäksi tulkitaan, että $\mathbf{}T^{0}(x)=x$ ja $\mathbf{}T^{1}(x)=T(x)$.) Esimerkiksi lähtemällä arvosta $\mathbf{}x=58/81$ iteroinnin ensimmäiset kuusi lukua ovat $\mathbf{}58/81, T(58/81)=69/81,T(T(58/81))=T(69/81)=36/81,$ $\mathbf{}T(T(T(58/81)))=T(36/81)=108/81, T^{4}(58/81)=T(108/81)=-1$ ja $\mathbf{}T^{5}(58/81)=T(-1)=-3$.

Voidaan osoittaa, että Mandelbrotin joukon määritelmää vastaavalla tavalla Cantorin joukko koostuu tarkalleen niistä reaaliluvuista $\mathbf{}x$, joiden kuvauksen $\mathbf{}T$ suhteen otettu positiivinen rata on rajoitettu, eli on olemassa sellainen luku $\mathbf{}K>0$ (Luku $\mathbf{}K$ saa riippua iteroinnin aloittavasta reaaliluvusta $\mathbf{}x$.), että reaalilukua $\mathbf{}x$ iteroimalla saatava positiivinen rata on kokonaan rajoitetun välin $\mathbf{}[-K,K]$ sisällä. Lisäksi on helppo nähdä, että tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että reaaliluvun $\mathbf{}x$ positiivinen rata sisältyy kokonaisuudessaan yksikköväliin $\mathbf{}[0,1]$. Tämä seuraa siitä, että jos jossain iteroinnin kohdassa $\mathbf{}n$ on voimassa $\mathbf{}T^{n}(x)=y<0$, selvästi $\mathbf{}T^{n+k}(x)=3^{k}y$, joka lähestyy raja-arvoa $\mathbf{}-\infin$, kun $\mathbf{}k$ kasvaa eli iterointi etenee pidemmälle. Yksikkövälin $\mathbf{}[0,1]$ oikeaa puolta koskeva väite seuraa tästä nyt helposti, sillä jos iteroinnin jossain kohdassa $\mathbf{}n$ on voimassa $\mathbf{}T^{n}(x)=y>1$, selvästi $\mathbf{}T^{n+1}(x)=3(1-y)<0$, jolloin jatko voidaan päätellä aiemman $\mathbf{}(y<0)$-tilanteen perusteella. Erityisesti ylläolevan esimerkin piste $\mathbf{}x=58/81$ ei kuulu Cantorin joukkoon, sillä esimerkissä nähtiin, että $\mathbf{}T^{3}(58/81)=108/81>1$, eli pisteen $\mathbf{}x=58/81$ iterointi kuvauksen $\mathbf{}T$ suhteen menee yksikkövälin $\mathbf{}[0,1]$ ulkopuolelle.

Aiheesta muualla

• MathWorld: Cantor set (englanniksi)