Avoin joukko

Kuvan joukko V ei ole avoin, sillä pisteen p ympäristö ei sisälly joukkoon V.

Avoin joukko on topologian keskeisin peruskäsite. Avoimien joukkojen avulla voidaan suoraan määritellä mm. topologian keskeiset käsitteet raja-arvo, jatkuvuus ja yhtenäisyys.

Määritelmä

Olkoon $(X,\mathcal{T})$ topologinen avaruus. Tällöin joukko $A \subset X$ on avoin, jos ja vain jos $A \in \mathcal{T}$. Toisin sanoen topologisen avaruuden topologian alkioita kutsutaan avoimiksi joukoiksi.

Esimerkkejä

• Erityisen tärkeitä avoimia joukkoja ovat metrisen avaruuden avoimet kuulat, eli joukot, joihin kuuluvat avaruuden ne pisteet, joiden etäisyys jostakin annetusta pisteestä on pienempi kuin jokin vakio. Ne muodostavat kannan metrisen avaruuden ns. tavalliselle topologialle. Erityisesti reaaliakselin avoin väli on klassinen esimerkki avoimesta joukosta.

Ympäristöt

Avoimiin joukkoihin liittyy oleellisesti ympäristön käsite. Jos $x \in X$ ja on olemassa avoin joukko $U \in \mathcal{T}$, jolla $x \in U$, niin joukkoa U kutsutaan pisteen x ympäristöksi.

Avoin joukko voidaan karakterisoida myös ympäristöjen avulla. Voidaan nimittäin osoittaa, että joukko U on avoin, jos ja vain jos jokaisella joukon U pisteellä on olemassa ympäristö, joka sisältyy joukkoon U.

Metrisissä avaruuksissa tätä voidaan käyttää avoimen joukon määritelmänäkin. Tällöin määritellään, että joukko $U$ on pisteen $x \in T$ ympäristö, jos on olemassa sellainen positiivinen luku $\epsilon > 0$, että kaikki joukon $U$ pisteet, joiden etäisyys $x$:stä on pienempi kuin $\epsilon$, kuuluvat joukkoon $T$. Metrisen avaruuden osajoukko $U$ on avoin, jos sen jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan sisältyy U:hun.

Ympäristöjen ja avoimien joukkojen avulla voidaan helposti määritellä keskeisiä topologian käsitteitä:

• Topologisen avaruuden $(X,\mathcal{T})$ jonolla ${( x_n )}_{n \in \mathbb{N}}$ on raja-arvo pisteessä $a \in X$, jos ja vain jos jokaiselle pisteen $a$ ympäristölle $U \in \mathcal{T}$ löydämme indeksin $n_0 \in \mathbb{N}$, jolla $x_n \in U$ kaikilla $n \geq n_0$.

• Jos $(X,\mathcal{T})$ ja $(Y,\mathcal{T}')$ ovat topologisia avaruuksia, niin kuvaus $f : X \rightarrow Y$ on jatkuva pisteessä $a \in X$ jos ja vain jos jokaiselle pisteen $f(a)$ ympäristölle $V \in \mathcal{T}'$ löydämme pisteen a ympäristön $U \in \mathcal{T}$, jolle $fU \subset V$. (tai yhtäpitävästi $U \subset f^{-1} V$)

• Joukko on yhtenäinen, jos ja vain jos sitä ei voi lausua epätyhjien avoimien joukkojen erillisenä yhdisteenä.