Avoin joukko

Wikipedia

Kuvan joukko V ei ole avoin, sillä pisteen p ympäristö ei sisälly joukkoon V.

Avoin joukko on topologian keskeisin peruskäsite. Avoimien joukkojen avulla voidaan suoraan määritellä mm. topologian keskeiset käsitteet raja-arvo, jatkuvuus ja yhtenäisyys.

[muokkaa] Määritelmä

Olkoon topologinen avaruus. Tällöin joukko on avoin, jos ja vain jos . Toisin sanoen topologisen avaruuden topologian alkioita kutsutaan avoimiksi joukoiksi.

[muokkaa] Esimerkkejä

• Erityisen tärkeitä avoimia joukkoja ovat metrisen avaruuden avoimet kuulat. Ne muodostavat kannan metrisen avaruuden ns. tavalliselle topologialle. Erityisesti reaaliakselin avoin väli on klassinen esimerkki avoimesta joukosta.

[muokkaa] Ympäristöt

Avoimiin joukkoihin liittyy oleellisesti ympäristön käsite. Jos ja on olemassa avoin joukko , jolla , niin joukkoa U kutsutaan pisteen x ympäristöksi.

Avoin joukko voidaan karakterisoida myös ympäristöjen avulla. Voidaan nimittäin osoittaa, että joukko U on avoin, jos ja vain jos jokaisella joukon U pisteellä on olemassa ympäristö, joka sisältyy joukkoon U. Metrisissä avaruuksissa tämä annetaan suoraan avoimen joukon määritelmäksi.

Ympäristöjen ja avoimien joukkojen avulla voidaan helposti määritellä keskeisiä topologian käsitteitä:

• Topologisen avaruuden jonolla on raja-arvo pisteessä , jos ja vain jos jokaiselle pisteen a ympäristölle löydämme indeksin , jolla kaikilla .

• Jos ja ovat topologisia avaruuksia, niin kuvaus on jatkuva pisteessä jos ja vain jos jokaiselle pisteen f(a) ympäristölle löydämme pisteen a ympäristön , jolle . (tai yhtäpitävästi )

• Joukko on yhtenäinen, jos ja vain jos sitä ei voi lausua epätyhjien avoimien joukkojen erillisenä yhdisteenä.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia. Voit auttaa laajentamaan myös muita samankaltaisia artikkeleita.