Tyhjä joukko

Wikipedia

Tyhjä joukko on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Tyhjää joukkoa merkitään $\varnothing$ :lla, ${}$ :lla tai joskus myös ε:lla (epsilon). Epätyhjä joukko $A$ on joukko, joka ei ole tyhjä joukko. Tällöin merkitään $A \neq \varnothing.$

Koska tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjän joukon jokaiselle alkiolle jokainen väite tosi. Tämä helpottaa monesti tyhjää joukkoa koskevien lauseiden formalisointia. Sen sijaan tyhjälle joukolle kaikki väitteet eivät ole tosia. Esimerkiksi väite "tyhjässä joukossa on alkio" on epätosi.

[muokkaa] Esimerkkejä

$\{x \in \mathbb R : x^2 < 0\} = \varnothing$ eli sellaisten reaalilukujen joukko, joiden neliö eli toinen potenssi on negatiivinen, on tyhjä joukko.
$\{n \in \mathbb N : n < 0 \} = \varnothing$ eli negatiivisten luonnollisten lukujen joukko on tyhjä joukko, sillä ei ole olemassa negatiivista luonnollista lukua.

[muokkaa] Tyhjä joukko osajoukkona

Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko. Tämä voidaan todistaa seuraavasti.

Tehdään vastaväite: on olemassa joukko A, jonka osajoukko $\varnothing$ ei ole. Tällöin joukossa $\varnothing$ on oltava alkio, joka ei ole joukon A alkio. Mutta tyhjässä joukossa ei määritelmän mukaan ole alkioita. Siispä vastaväite on johtanut ristiriitaan, joten se ei voi pitää paikkaansa.