Metrinen avaruus
Wikipedia
Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Määritelmä
Metrinen avaruus on pari (X,d), missä X on joukko ja
kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon X alkioilla x, y ja z toteuttaa ehdot

- d(x,y) = 0 jos ja vain jos x = y
- d(x,y) = d(y,x)
(kolmioepäyhtälö).
Metristä avaruutta (X,d) kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi X, jos käytössä oleva metriikka d on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden X alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua d(x,y) pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi.
[muokkaa] Esimerkkejä
- Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa X voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä d(x,y) = 0 jos x = y ja d(x,y) = 1 muutoin.
- Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan d(x,y) = | x - y | .
- Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos
on normiavaruus, niin funktio
määrää metriikan joukkoon X.
[muokkaa] Määritelmiä
[muokkaa] Kuulat ja pallot
Olkoon (X,d) metrinen avaruus,
ja
. Tällöin joukkoa
kutsutaan avaruuden X x-keskiseksi r-säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen, B(x,r) on niiden pisteiden
joukko, joiden etäisyys pisteestä x on aidosti pienempi kuin r. Joukkoa B(x,r) kutsutaan myös pisteen x kuulaympäristöksi.
Vastaavasti määritellään joukot
ja
joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.
On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden X metriikasta d, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä Bd(x,r).
[muokkaa] Avoin ja suljettu joukko
Avaruuden (X,d) osajoukko
on avoin, jos jokaisella pisteellä
on kuulaympäristö B(x,r) siten, että
. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään X:n topologian, ns. tavallisen topologian
; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden
topologiaa
metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin X:n metriikka d siten, että
.
Joukko
on suljettu, jos sen komplementti
on avoin. Joukko
voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.
[muokkaa] Rajoitettu joukko
Metrisen avaruuden (X,d) osajoukkoa
sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde
, että d(x,y) < r kaikilla
. Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi.
[muokkaa] Pisteen etäisyys joukosta
Metrisen avaruuden pisteen
etäisyys joukosta
on lyhin etäisyys pisteestä x johonkin joukon A pisteeseen, toisin sanoen
.




