Metrinen avaruus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrinen avaruus on pari (X, d), missä X on joukko ja \scriptstyle d : X \times X \to \mathbb{R} kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon X alkioilla x, y ja z toteuttaa ehdot

  1. d(x,y) \ge 0
  2. d(x,y) = 0 \,\! jos ja vain jos x = y
  3. d(x,y) = d(y,x) \,\!
  4. d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) (kolmioepäyhtälö).[1]

Metristä avaruutta (X, d) kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi X, jos käytössä oleva metriikka d on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden X alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua d(x,y) pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa X voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä d(x, y) = 0 jos x = y ja d(x, y) = 1 muutoin.
  • Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan d(x, y) = |x - y|.
  • Jokaisessa joukossa \mathbb{R}^n tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden P=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, ja Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\, välinen etäisyys on
\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2}

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

  • Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos (X,|| \cdot ||) on normiavaruus, niin funktio d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, d(x,y) = || x - y || määrää metriikan joukkoon X.
  • Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuulat ja pallot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X,d) metrinen avaruus, x \in X ja r \in \mathbb{R}_+ = \{y \in \mathbb{R} : y > 0\}. Tällöin joukkoa

B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) < r\}

kutsutaan avaruuden X x-keskiseksi r-säteiseksi avoimeksi kuulaksi.[1] Toisin sanoen, B(x,r) on niiden pisteiden y \in X joukko, joiden etäisyys pisteestä x on aidosti pienempi kuin r. Joukkoa B(x,r) kutsutaan myös pisteen x kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

\overline B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) \leq r\}

ja

S(x,r) = \{y \in X : d(y,x) = r\},

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden X metriikasta d, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä B_d(x,r).

Avoin ja suljettu joukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Avaruuden (X,d) osajoukko U \subseteq X on avoin, jos jokaisella pisteellä x \in U on kuulaympäristö B(x,r) siten, että B(x,r) \subseteq U. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään X:n topologian, ns. tavallisen topologian \mathcal{T}_d; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden (X,\mathcal{T}) topologiaa \mathcal{T} metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin X:n metriikka d siten, että \mathcal{T} = \mathcal{T}_d.[1]

Joukko F \subseteq X on suljettu, jos sen komplementti \complement F on avoin. Joukko A \subseteq X voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden (X, d) osajoukkoa A \subseteq X sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde r \in \mathbb{R}_+, että d(x, y) < r kaikilla x, y \in A. Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.[1]

Pisteen etäisyys joukosta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Metrisen avaruuden pisteen x \in X etäisyys joukosta A \subseteq X on lyhin etäisyys pisteestä x johonkin joukon A pisteeseen, toisin sanoen

d(x, A) = \inf \{d(x, y) : y \in A\}.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Jussi Väisälä: Topologia II, s. 35-36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]