Metrinen avaruus

Wikipedia

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista.

Sisällysluettelo

1 Määritelmä
2 Esimerkkejä
3 Määritelmiä
4 Katso myös

[muokkaa] Määritelmä

Metrinen avaruus on pari $(X, d)$ , missä $X$ on joukko ja $d : X \times X \to \mathbb{R}$ kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon $X$ alkioilla $x$ , $y$ ja $z$ toteuttaa ehdot

$d(x,y) \ge 0$
$d (x, y) = 0$ jos ja vain jos $x = y$
$d (x, y) = d (y, x)$
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ (kolmioepäyhtälö).

Metristä avaruutta $(X, d)$ kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi $X$ , jos käytössä oleva metriikka $d$ on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden $X$ alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua $d (x, y)$ pisteiden $x$ ja $y$ väliseksi etäisyydeksi.

[muokkaa] Esimerkkejä

Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa $X$ voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä $d (x, y) = 0$ jos $x = y$ ja $d (x, y) = 1$ muutoin.
Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan $d (x, y) = | x - y |$ .
Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos $(X,|| \cdot ||)$ on normiavaruus, niin funktio $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, d(x,y) = || x - y ||$ määrää metriikan joukkoon X.

[muokkaa] Määritelmiä

[muokkaa] Kuulat ja pallot

Olkoon $(X, d)$ metrinen avaruus, $x \in X$ ja $r \in \mathbb{R}_+ = \{y \in \mathbb{R} : y > 0\}$ . Tällöin joukkoa

$B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) < r\}$

kutsutaan avaruuden $X$ $x$ -keskiseksi $r$ -säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen, $B (x, r)$ on niiden pisteiden $y \in X$ joukko, joiden etäisyys pisteestä $x$ on aidosti pienempi kuin $r$ . Joukkoa $B (x, r)$ kutsutaan myös pisteen $x$ kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

$\overline B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) \leq r\}$

ja

$S(x,r) = \{y \in X : d(y,x) = r\},$

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden $X$ metriikasta $d$ , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä $B d (x, r)$ .

[muokkaa] Avoin ja suljettu joukko

Avaruuden $(X, d)$ osajoukko $U \subseteq X$ on avoin, jos jokaisella pisteellä $x \in U$ on kuulaympäristö $B (x, r)$ siten, että $B(x,r) \subseteq U$ . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään $X$ :n topologian, ns. tavallisen topologian $\mathcal{T}_d$ ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden $(X,\mathcal{T})$ topologiaa $\mathcal{T}$ metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin $X$ :n metriikka $d$ siten, että $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$ .

Joukko $F \subseteq X$ on suljettu, jos sen komplementti $\complement F$ on avoin. Joukko $A \subseteq X$ voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

[muokkaa] Rajoitettu joukko

Metrisen avaruuden $(X, d)$ osajoukkoa $A \subseteq X$ sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde $r \in \mathbb{R}_+$ , että $d (x, y) < r$ kaikilla $x, y \in A$ . Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi.