Metrinen avaruus

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Määritelmä

Metrinen avaruus on pari (X,d), missä X on joukko ja d : X \times X \to \mathbb{R} kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon X alkioilla x, y ja z toteuttaa ehdot

  1. d(x,y) \ge 0
  2. d(x,y) = 0 jos ja vain jos x = y
  3. d(x,y) = d(y,x)
  4. d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) (kolmioepäyhtälö).

Metristä avaruutta (X,d) kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi X, jos käytössä oleva metriikka d on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden X alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua d(x,y) pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi.

[muokkaa] Esimerkkejä

  • Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa X voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä d(x,y) = 0 jos x = y ja d(x,y) = 1 muutoin.
  • Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan d(x,y) = | x - y | .
  • Jokaisessa joukossa \mathbb{R}^n tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden P=(p_1,p_2,\dots,p_n)\, ja Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\, välinen etäisyys on
\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2}

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

  • Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos (X,|| \cdot ||) on normiavaruus, niin funktio d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}, d(x,y) = || x - y || määrää metriikan joukkoon X.
  • Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

[muokkaa] Määritelmiä

[muokkaa] Kuulat ja pallot

Olkoon (X,d) metrinen avaruus, x \in X ja r \in \mathbb{R}_+ = \{y \in \mathbb{R} : y > 0\}. Tällöin joukkoa

B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) < r\}

kutsutaan avaruuden X x-keskiseksi r-säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen, B(x,r) on niiden pisteiden y \in X joukko, joiden etäisyys pisteestä x on aidosti pienempi kuin r. Joukkoa B(x,r) kutsutaan myös pisteen x kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

\overline B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) \leq r\}

ja

S(x,r) = \{y \in X : d(y,x) = r\},

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden X metriikasta d, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä Bd(x,r).

[muokkaa] Avoin ja suljettu joukko

Avaruuden (X,d) osajoukko U \subseteq X on avoin, jos jokaisella pisteellä x \in U on kuulaympäristö B(x,r) siten, että B(x,r) \subseteq U. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään X:n topologian, ns. tavallisen topologian \mathcal{T}_d; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden (X,\mathcal{T}) topologiaa \mathcal{T} metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin X:n metriikka d siten, että \mathcal{T} = \mathcal{T}_d.

Joukko F \subseteq X on suljettu, jos sen komplementti \complement F on avoin. Joukko A \subseteq X voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

[muokkaa] Rajoitettu joukko

Metrisen avaruuden (X,d) osajoukkoa A \subseteq X sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde r \in \mathbb{R}_+, että d(x,y) < r kaikilla x, y \in A. Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon halkaisijaksi.

[muokkaa] Pisteen etäisyys joukosta

Metrisen avaruuden pisteen x \in X etäisyys joukosta A \subseteq X on lyhin etäisyys pisteestä x johonkin joukon A pisteeseen, toisin sanoen

d(x, A) = \inf \{d(x, y) : y \in A\}.

[muokkaa] Katso myös

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Metrinen_avaruus
Henkilökohtaiset työkalut