Metristyvä avaruus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Topologiassa metristyvä avaruus on topologinen avaruus joka on homeomorfinen metrisen avaruuden kanssa. Topologista avaruutta (X,\tau) sanotaan siten metristyväksi jos on olemassa metriikka d\colon X\to [0,\infty), jolle d:n indusoima topologia on \tau. Metristyvyyslauseet antavat riittävät ehdot sille, että topologinen avaruus on metristyvä.

Metristyvät avaruudet perivät kaikki alkuperäisen avaruuden topologiset ominaisuudet metriseen avaruuteen. Ne ovat esimerkiksi Hausdorff parakompakteja (ja siten normaaleja), Tihonoveja N1:siä.

Ensimmäinen todella merkityksellisen metrisoituvuuslause on Urusohnin metristyvyyslause. Sen mukaan jokainen N1 säännöllinen avaruus on metristyvä. (Historiallinen huomautus: Tämän lauseen todisti Andrei Tihonov vuonna 1926. Pavel Urusohn osoitti, kuolemansa jälkeen julkaistussa paperissaan vuonna 1925, heikomman tuloksen, jonka mukaan jokainen N2 normaali Hausdorffin avaruus on metristyvä.)

Useita muita metristyvyystuloksia seuraa Urysohnin lauseesta. Esimerkiksi kompakti Hausdorffin avaruus on metristyvä jos ja vain jos se on N2.

Urusohnin lause voidaan muotoilla myös seuraavasti: topologinen avaruus on separoituva ja metristyvä jos ja vain jos se on N2, säännöllinen ja Hausdorff. Nagatan-Smirnovin metristyvyyslause laajentaa tulosta ei-separoituviin avaruuksiin Sen mukaan topologinen avaruus on metristyvä jos ja vain jos se on säännöllinen, Hausdorff ja sillä on σ-lokaali äärellinen kanta. σ-lokaali äärellinen kanta on kanta, joka on yhdiste numeroituvan monesta lokaalisti äärellisestä kokoelmasta avoimia joukkoja

Avaruutta sanotaan lokaalisti metristyväksi jos jokaisella pisteellä on metristyvä ympäristö. Smirnov todisti, että lokaalisti metristyvä Hausdorffin avaruus on metristyvä jos ja vain jos se on parakompakti. Erityisesti monisto on metristyvä jos ja vain jos se on parakompakti.