Topologia (matematiikka)

Wikipedia

Sivulta puuttuu ensiarviointi. Tämä ilmoitus näytetään vain seulojille.

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tämä artikkeli käsittelee matematiikan osa-aluetta. Katso täsmennyssivu muille merkityksille.

Kahvikupin muunnos torukseksi

Topologia on matematiikan alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms.

Siinä, missä geometriassa tärkeitä ovat pituudet ja pinta-alat, geometrinen topologia kiinnittää huomiota muotoon.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella". Tästä anekdootti: "Topologi on matemaatikko, joka ei erota kahvikuppia munkkirinkilästä." (John Kelley, In N. Rose, Mathematical Maxims and Minims)

Teknisenä terminä topologia tarkoittaa jonkin perusjoukon osajoukkojen kokoelmaa, joka täyttää seuraavat ehdot:

Koko avaruuden perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen
Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet
Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset

Tällöin kyseisen kokoelman alkioita sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria topologiseksi avaruudeksi.

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden $X$ topologiaan kuuluvat ainakin alkiot $\emptyset$ ja $X$ . Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös $X$ :n potenssijoukko on eräs $X$ :n topologia, diskreetti topologia. Siten $X$ :n indiskreettitopologia on aina $X$ :n diskreetin topologian osajoukko. Yleisesti jos $T_1$ ja $T_2$ ovat joukon $X$ kaksi topologiaa ja $T_1 \subset T_2$ , sanotaan että $T_1$ on karkeampi eli heikompi kuin $T_2$ . Vastaavasti topologia $T_2$ on hienompi eli vahvempi kuin $T_1$ . Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.