Topologia (matematiikka)

Kahvikupin muunnos torukseksi

Topologia on matematiikan alue, joka käsittelee topologisiksi avaruuksiksi kutsuttuja piste­joukkoja ja niiden sellaisia ominaisuuksia, jotka säilyvät homeo­morfis­meissa, toisin sanoen sellaisissa jatkuvissa bijektiivi­sissä kuvauksissa, joiden käänteis­kuvaukset ovat myös jatkuvia.

Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geo­metriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeo­morfis­meissa.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat eli homeo­morfiset, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella". Tästä anekdootti: "Topologi on matemaatikko, joka ei erota kahvikuppia munkkirinkilästä." (John Kelley, In N. Rose, Mathematical Maxims and Minims)

Avoimet joukot ja topologia

On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian perus­käsitteeksi. Teknisenä terminä topo­logialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa jonkin perus­joukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot:

• Koko perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen
• Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet
• Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset

Tällöin kyseisen kokoelman alkioita sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria topologiseksi avaruudeksi.

Diskreettitopologia ja minitopologia

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden $X$ topologiaan kuuluvat ainakin alkiot $\emptyset$ ja $X$. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös $X$:n potenssijoukko on eräs $X$:n topologia, diskreetti topologia. Siten $X$:n indiskreettitopologia on aina $X$:n diskreetin topologian osajoukko.

Saman avaruuden topologiat

Yleisesti jos $T_1$ ja $T_2$ ovat joukon $X$ kaksi topologiaa ja $T_1 \subset T_2$, sanotaan että $T_1$ on karkeampi eli heikompi kuin $T_2$. Vastaavasti topologia $T_2$ on hienompi eli vahvempi kuin $T_1$. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

Metrisen avaruuden topologia

Jokainen metrinen avaruus eli joukko, jossa kahden pisteen välille on määritelty etäisyys, metriikka, on samalla topo­loginen avaruus. Tällöin avoimia joukkoja eli perusjoukon topo­logiaan kuuluvia joukkoja ovat ne, joissa joukon jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan kuuluu kyseiseen joukkoon, toisin sanoen jokaista joukon pistettä x kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen luku $\epsilon$, että jos d (x, y) < $\epsilon$, niin y kuuluu myös kyseiseen joukkoon. Tällaisten avointen joukkojen muodostamaa topo­logiaa sanotaan kyseisen metriikan määräämäksi topo­logiaksi.

Samassa joukossa voidaan kuitenkin määritellä useita täysin eri metriikkoja, jotka määräävät saman topo­logian. Metriikka sinänsä ei olekaan avaruuden topo­loginen ominaisuus. Toisaalta on olemassa topo­logisia avaruuksia, joiden topologiaa ei voida määrätä minkään metriikan avulla; tällaiset avaruudet eivät ole metristyviä.

Esimerkkejä

Reaalilukujen joukossa $\mathbb{R}$ nimitetään tavan­­omaiseksi topo­logiaksi metriikan

d(x, y) = | y - x |

määräämää topo­logiaa. Tässä metriikassa siis lukujen tai niitä vastaavien lukusuoran pisteiden etäisyys on yksin­kertaisesti niiden etäisyyden itseisarvo. Tällöin avoimia joukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit sekä joukot, jotka saadaan tällaisten yhdisteinä. Vastaavasti jokaisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb{R^n}$ tavanomaiseksi topo­logiaksi nimitetään luonnollisen metriikan

$d ((x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n)) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + ... + (y_n - x_n)^2}$

määräämää topologiaa.

Näissä tapauksissa kaikki avointen joukkojen avulla määri­teltävät topo­logiset käsitteet kuten kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo osoittautuvat yhtä­pitäväksi sen kanssa, miten vastaavat käsitteet voidaan määritellä lukujen erotuksen tai avaruuden pisteiden etäisyyden avulla.

Historia

Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraali­laskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosi­sadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikke­leissaan topo­logian alaan kuuluvia kysymyksiä.

Järjestelmällisesti topo­logiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla. Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906. Topologisen avaruuden käsitteen määritteli peri­aatteessa ensimmäisenä F. Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi. Yleisemmän topo­logisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisä­ehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimier Kuratowski vuonna 1922.

Käsitteitä

• Avaruus
• Kompaktius
• Yhtenäisyys
• Polkuyhtenäisyys
• Jatkuva kuvaus
• Avoin joukko
• Suljettu joukko
• Homeomorfismi
• Lineaarikuvaus
• Piste
• Täydellisyys
• Algebrallinen topologia

Eräitä topologian alaan kuuluvia erityiskysymyksiä

• Möbiuksen nauha
• Königsbergin siltaongelma

Lähteet

• Jussi Väisälä: Topologia II. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.