Integraali

Matematiikassa ja sen sovelluksissa esiintyy usein tarvetta laskea reaalisen funktion rajoittama pinta-ala tai tilavuus johonkin joukkoon nähden, kuten esimerkiksi koordinaattiakselin välille. Tätä ongelmaa auttamaan on kehitetty integraalin käsite.

Integraalin perusidean tunsivat jo 1600-luvun lopulla Gottfried Leibniz ja Isaac Newton. Heidän käyttämänsä integraalin määritelmä oli kuitenkin matemaattisesti epätäsmällinen, minkä vuoksi käsitteelle on myöhemmin keksitty useita tarkempia määritelmiä. Koulumatematiikassa integraali määritellään nykyään yleensä Bernhard Riemannin 1800-luvulla esittämällä tavalla, jota sanotaan Riemannin integraaliksi. Nykyisessä matematiikassa integraalin käsitteelle on kuitenkin kehitetty myös yleistyksiä, jolloin se voidaan määritellä eräille sellaisillekin funktioille, jotka eivät ole Riemannin mielessä integroituvia. Tunnetuin sellainen on mittateoriaan perustuva Lebesguen integraali.

Integraalin käsitteeseen liittyy läheisesti myös integraalifunktion käsite, derivaatan käänteistoimitus. Funktion integraalifunktio on sellainen funktio, jonka derivaatta on annettu funktio. Analyysin peruslauseen mukaan funktion Riemannin integraali kahden pisteen välillä on yhtä suuri kuin sen integraalifunktion näissä pisteissä saamien arvojen erotus.

Mittaintegraali

Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä $[0,\infty]$. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Määritelmä

Olkoon $(X, \mathcal{A}, \mu)$ mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ on yksinkertainen, jos

$f = \sum_{i=1}^k a_i 1_{A_i}$,

missä $a_1, \ldots, a_k \geq 0$; $A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{A}$ ja joukot $A_1, \ldots, A_k$ ovat perusjoukon $X$ ositus ja $1_{A_i}$ on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion $f$ integraali on

$I(f,\mu) = \sum_{i=1}^k a_i \mu(A_i)$.

Olkoon $f: X \rightarrow [0,\infty]$ kuvaus, joka on $\mu$-mitallinen. Kuvauksen $f$ integraali on

$\int_X f(x) \, d\mu(x) = \int_X f \, d\mu = \sup \{ I(g,\mu) \, | \, g \ \textrm{on} \ \textrm{yksinkertainen} \ \textrm{kuvaus} \ X \rightarrow \mathbb{R} \ \textrm{ja} \ g \leq f \}$.

Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta $\mu$ on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa

$\int_X f$.

Kuvauksen $f$ integraali yli joukon $E \in \mathcal{A}$ on

$\int_E f = \int_X f \cdot 1_E$.

Kuvaus $f: X \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \}$ on integroituva, jos pätee ehto

$\int_X |f| < \infty$.

$f$ on integroituva yli joukon $E \in \mathcal{A}$, jos pätee

$\int_E |f| < \infty$.

$f$ on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

$\int_X \max \{ f,0 \} < \infty$ tai $\int_X \max \{ -f,0 \} < \infty$.

Perusominaisuuksia

Oletetaan, joukko $E \in \mathcal{A}$, $f$ ja $g$ ovat $\mathcal{A}$-mitallisia kuvauksia $E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \}$ ja integroituvia yli joukon $E$.

• pätee kolmioepäyhtälö $\left| \int_E f \right| \leq \int_E |f|$
• summa $f+h$ on integroituva yli joukon $E$ ja $\int_E (f+g) = \int_E f + \int_E g$
• jos $\lambda \in \mathbb{R}$, niin $\lambda f$ on integroituva yli joukon $E$ ja $\int_E \lambda f = \lambda \int_E f$
• jos $f \leq g$, niin $\int_E f \leq \int_E g$
• jos $\mu (E) =0$, niin $\int_E f = 0$
• jos $f=g$ melkein kaikkialla joukossa $E$, niin $\int_E f = \int_E g$

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi $G \in \mathcal{A}$, $E$ ja $G$ ovat erillisiä sekä $h$ on $\mu$-mitallisia kuvaus $E \cup G \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \}$ ja integroituva yli joukon $E \cup G$, niin

$\int_{E \cup G} h = \int_E h + \int_G h$.

Integroituvien funktioiden avaruudet $L^p$ ja $L^\infty$

Olkoon $(X, \mathcal{A}, \mu)$ mitta-avaruus, $\mu$ täydellinen mitta ja luku $1 \leq p < \infty$. Merkitään eksponentilla $p$ integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla

$L^p = L^p (X) = L^p (\mu) = L^p (X, \mathcal{A}, \mu) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \int_X |f|^p \, d\mu < \infty \}$.

Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla

$L^\infty = L^\infty (X) = L^\infty (\mu) = L^\infty (X, \mathcal{A}, \mu) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \operatorname{ess} \, \sup |f| < \infty \}$.

$f$ on siis integroituva jos ja vain jos $f \in L^1$. Sanotaan, että $f$ on neliöintegroituva, jos $f \in L^2$.

Ominaisuuksia:

• $L^p$ on Banach-avaruus kaikilla $1 \leq p \leq \infty$
• jos $\mu$ on äärellinen mitta ja $1 \leq q \leq p \leq \infty$, niin $L^p(\mu) \subset L^q(\mu)$

Epäyhtälöitä integraalille

Hölderin epäyhtälö

Jos $p>1$ ja $q>1$ siten, että

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$,

sekä $f \in L^p$ ja $g \in L^q$, niin Hölderin epäyhtälö on

$\int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f|^p \, d\mu \right)^\frac{1}{p} \left( \int_X |f|^q \, d\mu \right)^\frac{1}{q}$.

Jos $p=1$ ja $q=\infty$, niin epäyhtälö pätee muodossa

$\int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f| \, d\mu \right) \operatorname{ess} \sup |g|$.

Lukuja $p$ ja $q$ kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.

Minkowskin epäyhtälö

Jos $f,g\in L^p$, niin $||f+g||_p\leq||f||_p+||g||_p$. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle $L^p$-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus $L^p$ on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemma

Olkoon joukko $E \in \mathcal{A}$ ja $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ jono $\mathcal{A}$-mitallisia kuvauksia $E \rightarrow [0,\infty]$. Tällöin

$\int_E \liminf_{i \rightarrow \infty} f_i \leq \liminf_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i$

ja

$\int_E \limsup_{i \rightarrow \infty} f_i \geq \limsup_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i$.

Konvergenssilauseet

Olkoon joukko $E \in \mathcal{A}$ ja $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}$ jono $\mu$-mitallisia kuvauksia $E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \}$ siten, että jonon raja-arvo

$\lim_{i \rightarrow \infty} f_i$

on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että

$\int_E \lim_{i \rightarrow \infty} f_i = \lim_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i$.

Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Monotonisen konvergenssin lause

Jos pätee $0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \ldots$, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lause

Jos on olemassa integroituva kuvaus $g: E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \}$ siten, että $|f_j| \leq g$ kaikilla $j \in \mathbb{N}$ melkein kaikkialla joukolla $E$, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Rajoitetun konvergenssin lause

Jos $\mu (E) < \infty$ ja $|f_i| < \infty$ kaikilla $i \in \mathbb{N}$, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Integraalimitta

Jokaiseen mitta-avaruuden $(X,\mathcal{A},\mu)$ mitalliseen kuvaukseen $f: X \rightarrow [0,\infty]$ voidaan liittää mittaintegraali $\int_A f \, d\mu$ yli jokaisen joukon $A \in \mathcal{A}$. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus

$A \mapsto \int_A f \, d\mu,$ $A \in \mathcal{A}$

on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraali

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich - Prentice-Hall 1966).

Katso myös

• Viivaintegraali
• Pintaintegraali

Usein esiintyviä integraaleja:

• Lebesgue-Stieltjes-integraali
• Riemannin integraali
• Riemann–Stieltjes-integraali
• Epäoleellinen integraali
• Bochner-integraali