Mittaintegraali

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä [0,\infty]. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X, \mathcal{A}, \mu) mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus f: X \rightarrow \mathbb{R} on yksinkertainen, jos

f = \sum_{i=1}^k a_i 1_{A_i},

missä a_1, \ldots, a_k \geq 0; A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{A} ja joukot A_1, \ldots, A_k ovat perusjoukon X ositus ja 1_{A_i} on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion f integraali on

I(f,\mu) = \sum_{i=1}^k a_i \mu(A_i).

Olkoon f: X \rightarrow [0,\infty] kuvaus, joka on \mu-mitallinen. Kuvauksen f integraali on

\int_X f(x) \, d\mu(x) = \int_X f \, d\mu = \sup \{ I(g,\mu) \, | \, g \ \textrm{on} \ \textrm{yksinkertainen} \ \textrm{kuvaus} \ X \rightarrow \mathbb{R} \ \textrm{ja} \ g \leq f \}.

Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta \mu on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa

\int_X f.

Kuvauksen f integraali yli joukon E \in \mathcal{A} on

\int_E f = \int_X f \cdot 1_E.

Kuvaus f: X \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \} on integroituva, jos pätee ehto

\int_X |f| < \infty.

f on integroituva yli joukon E \in \mathcal{A}, jos pätee

\int_E |f| < \infty.

f on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

\int_X \max \{ f,0 \} < \infty tai \int_X \max \{ -f,0 \} < \infty.

Perusominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, joukko E \in \mathcal{A}, f ja g ovat \mathcal{A}-mitallisia kuvauksia E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \} ja integroituvia yli joukon E.

  • pätee kolmioepäyhtälö
    \left| \int_E f \right| \leq \int_E |f|
  • summa f+h on integroituva yli joukon E ja
    \int_E (f+g) = \int_E f + \int_E g
  • jos \lambda \in \mathbb{R}, niin \lambda f on integroituva yli joukon E ja
    \int_E \lambda f = \lambda \int_E f
  • jos f \leq g, niin
    \int_E f \leq \int_E g
  • jos \mu (E) =0, niin
    \int_E f = 0
  • jos f=g melkein kaikkialla joukossa E, niin
    \int_E f = \int_E g

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi G \in \mathcal{A}, E ja G ovat erillisiä sekä h on \mu-mitallisia kuvaus E \cup G \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \} ja integroituva yli joukon E \cup G, niin

\int_{E \cup G} h = \int_E h + \int_G h.

Integroituvien funktioiden avaruudet L^p ja L^\infty[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X, \mathcal{A}, \mu) mitta-avaruus, \mu täydellinen mitta ja luku 1 \leq p < \infty. Merkitään eksponentilla p integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla

L^p = L^p (X) = L^p (\mu) = L^p (X, \mathcal{A}, \mu) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \int_X |f|^p \, d\mu < \infty \}.

Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla

L^\infty = L^\infty (X) = L^\infty (\mu) = L^\infty (X, \mathcal{A}, \mu) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \operatorname{ess} \, \sup |f| < \infty \}.

f on siis integroituva jos ja vain jos f \in L^1. Sanotaan, että f on neliöintegroituva, jos f \in L^2.

Ominaisuuksia:

Epäyhtälöitä integraalille[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hölderin epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos p>1 ja q>1 siten, että

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

sekä f \in L^p ja g \in L^q, niin Hölderin epäyhtälö on

\int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f|^p \, d\mu \right)^\frac{1}{p} \left( \int_X |f|^q \, d\mu \right)^\frac{1}{q}.

Jos p=1 ja q=\infty, niin epäyhtälö pätee muodossa

\int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f| \, d\mu \right) \operatorname{ess} \sup |g| .

Lukuja p ja q kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.


Minkowskin epäyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos f,g\in L^p, niin ||f+g||_p\leq||f||_p+||g||_p. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle L^p-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus L^p on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko E \in \mathcal{A} ja (f_i)_{i \in \mathbb{N}} jono \mathcal{A}-mitallisia kuvauksia E \rightarrow [0,\infty]. Tällöin

\int_E \liminf_{i \rightarrow \infty} f_i \leq \liminf_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i

ja

\int_E \limsup_{i \rightarrow \infty} f_i \geq \limsup_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i.

Konvergenssilauseet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon joukko E \in \mathcal{A} ja (f_i)_{i \in \mathbb{N}} jono \mu-mitallisia kuvauksia E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \} siten, että jonon raja-arvo

\lim_{i \rightarrow \infty} f_i

on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että

\int_E \lim_{i \rightarrow \infty} f_i = \lim_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i.

Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Monotonisen konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos pätee 0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \ldots, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos on olemassa integroituva kuvaus g: E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \} siten, että |f_j| \leq g kaikilla j \in \mathbb{N} melkein kaikkialla joukolla E, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Rajoitetun konvergenssin lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos \mu (E) < \infty ja |f_i| < \infty kaikilla i \in \mathbb{N}, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Integraalimitta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaiseen mitta-avaruuden (X,\mathcal{A},\mu) mitalliseen kuvaukseen f: X \rightarrow [0,\infty] voidaan liittää mittaintegraali \int_A f \, d\mu yli jokaisen joukon A \in \mathcal{A}. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus

A \mapsto \int_A f \, d\mu, A \in \mathcal{A}

on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich - Prentice-Hall 1966).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Usein esiintyviä integraaleja: