Pintaintegraali

Wikipedia

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain $\mathbb{R}^3$ :n pinnoille.

[muokkaa] Määritelmä

Olkoon $D \subset \mathbb{R}^2$ yhtenäinen ja $\omega : D \rightarrow \mathbb{R}^3$ eräs $\mathbb{R}^3$ :n derivoituva pinta. Olkoon $A \subset \mathbb{R}^3$ joukko siten, että pinnan $ω$ kuvaaja $\omega (D) \subset A$ . Olkoon nyt funktio $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ sellainen, että funktio $h : D \rightarrow \mathbb{R}$ ,

$h (x,y) = f(\omega (x,y))||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)||$ ,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska $ω$ on $\mathbb{R}^3$ :n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat $\mathbb{R}^3$ :n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion $f$ pintaintegraali yli pinnan $ω$ on luku

$\int\limits_\omega f = \iint\limits_D f(\omega (x,y))||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\,\mbox{d}y$ .

[muokkaa] Sovelluksia

Jos valitsemme nyt funktioksi $f = 1$ , niin pintaintegraali antaa pinnan $ω$ kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan $ω$ kuvaajan pinta-alaksi kaavan

$A( \omega ) = \iint\limits_D ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y$ .

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta $\omega : \bar{B}(0,r) \rightarrow \mathbb{R}^3$ ,

$\omega (x,y) = (x,y,\sqrt{r^2-x^2-y^2})$ .

Huomataan, että pinnan $ω$ kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan $ω$ kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

$\partial_1 \omega (x,y) = (\partial_1 x, \partial_1 y, \partial_1 \sqrt{r^2-x^2-y^2}) = (1,0,-x / \sqrt{r^2-x^2-y^2})$

$\partial_2 \omega (x,y) = (\partial_2 x, \partial_2 y, \partial_2 \sqrt{r^2-x^2-y^2}) = (0,1,-y / \sqrt{r^2-x^2-y^2})$

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

$\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y) = \begin{vmatrix} (1,0,0) & (0,1,0) & (0,0,1)\\1 & 0 & -x / \sqrt{r^2-x^2-y^2}\\0 & 1 & -y / \sqrt{r^2-x^2-y^2} \end{vmatrix}$

$= (x / \sqrt{r^2-x^2-y^2},y / \sqrt{r^2-x^2-y^2},1)$

ja edelleen sen normiksi

$||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| = ||(x / \sqrt{r^2-x^2-y^2},y / \sqrt{r^2-x^2-y^2},1)||$

$= \sqrt{(x / \sqrt{r^2-x^2-y^2})^2 + (y / \sqrt{r^2-x^2-y^2})^2 + 1^2} = \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}$ .

Näin ollen

$\mbox{Pallon kuoren pinta-ala} = 2A(\omega ) = 2\iint\limits_{\bar{B}(0,r)} ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y$

$= 2\iint\limits_{\bar{B}(0,r)} \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y = 4\pi r^2$ .

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

[muokkaa] Vuopintaintegraali

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta $ω$ ja joukko $A \subset \mathbb{R}^3$ kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio $F : A \rightarrow \mathbb{R}^3$ sellainen, että funktio $H : D \rightarrow \mathbb{R}$ ,

$H (x,y) = F(\omega (x,y))\cdot (\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y))$ ,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion $F$ vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan $ω$ on luku

$\int\limits_\omega F \cdot \mbox{d}\bar{A} = \iint\limits_D F(\omega (x,y))\cdot (\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)) \, \mbox{d}x\,\mbox{d}y$ .

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos $E \subset \mathbb{R}^3$ on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, $E \subset A$ , missä $A \subset \mathbb{R}^3$ on avoin ja $\omega : D \rightarrow \mathbb{R}^3$ on $\mathbb{R}^3$ :n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon $E$ reuna $\partial E$ , niin derivoituvan funktion $F : A \rightarrow \mathbb{R}^3$ vuo