Tilavuusintegraali

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Tilavuusintegraali on yleistys pintaintegraalista.

Tilavuusintegraali on kolmoisintegraali jatkuvasta vakiofunktiosta 1, joka määrää joukon D tilavuuden. Joukon D tilavuus on siis

 Vol(D)=\iiint\limits_D 1 \,dx\,dy\,dz.

Jatkuvan funktion f(x,y,z) integraali joukon  D \subset \mathbb{R}^3 yli on kolmoisintegraali

 \iiint\limits_D f(x,y,z) \,dx\,dy\,dz.

Tilavuusintegraali pallokoordinaatistossa on muotoa (kts. kohta "Muuttujanvaihto")

 \iiint\limits_D f(r,\rho,\theta)r^2 \sin\theta \,dr\,d\rho\, d\theta

ja sylinterikoordinaatistossa (kts. kohta "Muuttujanvaihto")

 \iiint\limits_D f(r,\rho,z)r \,dr\,d\rho\, dz.


Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon  A \subset \mathbb{R}^n kompakti, reuna  \partial A nollajoukko ja f : A \rightarrow \mathbb{R} jatkuva. Tällöin integraali  \int_A f \, dx_1 \ldots \,dx_n on olemassa.[1] Joukon  A \subset \mathbb{R}^n tilavuus määritellään kaavalla  Vol(A)=\int_A f \, dx_1 \ldots \,dx_n 
, jos integraali on olemassa.

Muuttujanvaihto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot  D, D' \subset \mathbb{R}^n avoimia,  \overline{D} ja  \overline{D'} kompakteja,  \partial D ja  \partial D' nollajoukkoja sekä \omega bijektiivinen C^1-kuvaus,  \omega : D \rightarrow D'. Jos f :\overline{D'} \rightarrow \mathbb{R} on jatkuva, niin

\int_{D'} f \,dx_1 \ldots \,dx_n =\int_D f(\omega)|\tau(\omega)|\,dx_1 \ldots \,dx_n ,

missä \tau(\omega) on kuvauksen \omega jacobiaani eli Jacobin determinantti

\tau(\omega)=det \omega'=\begin{vmatrix}
    \partial_1 \omega_1       & \cdots &   \partial_n \omega_1       \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    \partial_1 \omega_n       & \cdots &   \partial_n \omega_n 
\end{vmatrix},

ja \omega_1, \ldots, \omega_n ovat \omega:n koordinaattifunktiot.[2]


Kuvaukselle  \omega : \left ( 0,R \right )\times \left [ 0,2\pi \right ]\times \left [ 0,\pi \right ) \rightarrow B(\overline{0}, R), \omega(r,\rho,\theta)=(\omega_1,\omega_2,\omega_3), missä

\begin{cases}
    \omega_1=r\sin\theta\cos\rho \\
    \omega_2=r\sin\theta\sin\rho\\
    \omega_3=r\cos\theta 
\end{cases}

saadaan Jacobin determinantiksi |\tau(\omega)|=r^2\sin\theta, kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan.

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

\begin{cases}
    x_1=r\cos\rho \\
    x_2=r\sin\rho\\
    x_3=x_3 
\end{cases}

Jacobin determinantiksi |\tau(x)|=r.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan \mathbb{R}^3:n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla  \int_{\overline{B}(0,R)} 1 \,dx_1\,dx_2\,dx_3 pallokoordinaatteihin sijoituksella:


\begin{align}
 \int_{\overline{B}(0,R)} 1 \,dx_1\,dx_2\,dx_3 & =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} 1 \cdot r^2\sin\theta \,d\rho\,d\theta\,dr \\
      & =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi} 2\pi r^2\sin\theta \,d\theta\,dr \\
      & =\int_{0}^{R} 4\pi r^2 \,dr \\
      & = \frac{4}{3}\pi R^3.
\end{align}


Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pintaintegraali

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 128, Limes ry, 2.korjattu painos. ISBN 951-745-205-5
  2. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 130, Limes ry, 2.korjattu painos. ISBN 951-745-205-5