Osittaisderivaatta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa usean muuttujan funktion osittaisderivaatta on sen derivaatta yhden muuttujan suhteen (muita muuttujia kohdellaan vakioina). Funktion f osittaisderivaattaa muuttujan xi suhteen merkitään \frac{\partial f}{\partial x_i}.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kartion tilavuus V riippuu sen korkeudesta h ja pohjan säteestä r seuraavan kaavan mukaisesti:

V = \frac{ r^2 h \pi }{3}

V:n osittaisderivaatta r:n suhteen on

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}.

Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona. Osittaisderivaatta h:n suhteen on

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}

joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.

Osittaisderivaatan matemaattinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tavallisen reaalifunktion derivaatan tapaan osittaisderivaatta on määritelty erotusosamäärän raja-arvona. Olkoon U joukon Rn avoin osajoukko ja f : U → R funktio. Funktion f osittaisderivaatta i:nnen muuttujan xi suhteen pisteessä a = (a1,...,an) on tällöin määritelty seuraavasti:

\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]