Osittaisderivaatta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Osittaisderivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta yhden muuttujansa suhteen annetulla muuttujan arvolla. Osittaisderivaatalla voidaan tutkia, mikä vaikutus yhden muuttujan muutoksella on funktion arvoon varioitavan muuttujan arvon ympäristössä. Sillä on sovelluksia tieteen, tekniikan ja talousteorian aloilla.[1][2]

Johdanto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitseminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuvaaja pinnasta z = x2 + xy + y2. Osittaisderivaattaa pisteessä (1, 1, 3) voidaan tarkastella x-akselin suuntaisella, kohdan y = 1 kautta kulkevalla ja pinnasta esiin leikatulla xz-tason suuntaisella tasolla (merkitty pystyviivoin).
Siinä tasossa olevien pisteiden koordinaatit ovat muotoa (x, 1, z) ja pinnasta leikatun käyrän tangentti pisteessä (1, 1, 3) on piirretty punaisella. Punaisen tangentin kulmakerroin kyseisellä tasolla on 3.

Yksinkertaisuuden vuoksi merkitään usean muuttujan funktiota f(x,y,z,...), jolloin muuttujan x suhteen otsettu osittaisderivaatta merkitään esimerkiksi

D_x f, \, f'_x, f_x, \frac{\partial}{\partial x}f  \text{ tai }  \frac{\partial f}{\partial x}. [2]

Osittaisderivoinnin symboli on \partial ja se esiintyy ensimmäisen kerran vuonna 1770 Nicolas de Condorcet kirjoituksissa, missä hän käytti osittaisderivaattaa. Nykymuodossaan olevia osittaisderivaatan merkintöjä käytti ensimmäisenä Adrien-Marie Legendre vuonna 1786. Hän hylkäsi ne myöhemmin, mutta Carl Gustav Jacob Jacobi otti sen uudelleen käyttöönsä vuonna 1841.[3]

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktion f: \, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} kuvaajaa (x,y,z)- koordinaatistossa (kuva vieressä) esittää yhtälö

z = f(x,y) = \,\! x^2 + xy + y^2.\,

Kuvaaja esittää kaksiulotteista pintaa kolmiulotteisessa tilassa ja pinnan jokaiseen pisteeseen voidaan asettaa tangenttisuoria äärettömän moneen suuntaan. Tagentit osoittavat pinnan jyrkkyyden eri suunnissa. Kun määritetään pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa, käytetään siihen tangenttia, joka on yhdensuuntainen yz-tason kanssa. Pinnan jyrkkyys x-akselin suunnassa saadaan selville osittaisderivaatalla muuttujan x suhteen

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial (x^2 + xy + y^2)}{\partial x} =\frac{\partial x^2}{\partial x} + \frac{\partial xy}{\partial x} + \frac{\partial y^2}{\partial x} = 2x+y+0 = 2x+y.

Jyrkkyys riippuu luonnollisesti vielä paikasta (x,y). Valitaan xy-tason pisteeksi (1,1) ja lasketaan osittaisderivaatta siinä kohdassa

\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3

Tangentti sivuaa pintaa z = f(x,y)=x^2 + xy + y^2 pisteessä, jossa z-koordinaatti on

z = f(1,1)=1^2 + 1\cdot 1 + 1^2 = 3

eli koordinaattipisteessä (1,1,3). Näin on saatu viereisten kuvaajien mukainen tulos.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään usean muuttujan arvoja vektoreilla a = (a_1, a_2, a_3,\dots,a_n), \text{ missä } a \in \mathbf{R}^n. Kun myös x \in \mathbf{R}^n, on funktio f(x) reaaliarvoinen usean muuttujan funktio. Tavallisen reaalifunktion derivaatan tapaan osittaisderivaatta on määritelty erotusosamäärän raja-arvona muuttujan x_i suhteen, kun muut muuttujat kohdellaan derivoinnin ajan vakioina.[1][2]

Olkoon U \subset \mathbf{R}^n pisteen a ympäristössä (avoin joukko), jossa funktio f : U \to \mathbf{R} on määritelty (ehkä lukunottamatta pisteessä a). Funktion f osittaisderivaatta muuttujan x_i suhteen pisteessä a = (a_1,\dots,a_n) on määritelty seuraavasti erotusosamäärään raja-arvon avulla:

f'_{x_i}(a) = \frac{ \partial }{\partial x_i }f(a) 
= \lim_{h \rightarrow 0}{f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }. [1][2]

Raja-arvo määritetään tämän jälkeen normaalisti funktion raja-arvona. Osittaisderivaattaa, joka on saatu vain kerran derivoimalla, kutsutaan myös ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaataksi.

Osittaisderivaattafunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Osittaisderivaattafunktio on usean muuttujan funktiolauseke, jolla voi laskea funktion osittaisderivaatan arvon halutussa pisteessä. Osittaisderivaattafunktio on vastaava käsite kuin derivaattafunktio, mutta siinä derivoidaan lauseke vain yhden muuttujan suhteen muiden muuttujien jäädessä vakion asemaan.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometriassa ympyräpohjaisen kartion tilavuus V riippuu sen korkeudesta h ja pohjan säteestä r seuraavasti:

V = V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3} = {\pi \over 3}r^2 h.

Se voidaan tulkita kahden muuttujan funktioksi V(h,r), jonka osittaisderivaattafunktio muuttujan r suhteen on

V'_r(r,h) = \frac{ \partial V(r,h)}{\partial r} = \frac{ \partial ({\pi \over 3}r^2 h) }{\partial r} = {\pi \over 3}2r h = \frac{ 2r h \pi }{3}.

Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona.

Osittaisderivaattafunktio, kun derivoidaan muuttujan h:n suhteen on

V'_h(r,h) = \frac{ \partial V(r,h)}{\partial h} = \frac{ \partial ({\pi \over 3}r^2 h) }{\partial h} = {\pi \over 3}r^2\cdot 1=\frac{ r^2 \pi }{3}

joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.

Useamman kertaluvun osittaisderivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertaluvulla ilmaistaan osittaisderivointien lukumäärää. Kolmannen kertaluvun osittaisderivaatta saadaan osittaisderivoimalla funktio yhden muuttujan suhteen ja tämä derivaatta osittaisderivoidaan junkun muuttujan suhteen ja tämä toiseen kertaan osittaisderivoitu lauseke oisttaisderivoidaan kolmannen kerran yhden muuttujansa suhteen. Valitut muuttujat eivät vaikuta kertalukuun.

Toisen kertaluvun osittaisderivaatat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen kertaluvun osittaisderivaatta voidaan määritellä luonnollisella tavalla derivoimalla useamman muuttujan funktio kahdesti joko saman muuttujan suhteen tai kahden eri muuttujan suhteen. Seuraavassa on muutama esimerkki derivoinnin järjestämiseksi ja osittaisderivaattojen merkitsemisistä. Jos usean muuttujan funktiota merkitään f(x,y,\dots) (eli f: \, \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}), niin siitä voidaan muodostaa seuraavanlaiset toisen kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen: [2]

{\partial^2 \over \partial x^2}f(x,y,\dots) = {\partial \over \partial x}{\partial \over \partial x}f(x,y,\dots) = f_{xx}(x,y,\dots) = f_{11}(x,y,\dots)
{\partial^2 \over \partial y^2}f(x,y,\dots) = {\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}f(x,y,\dots) = f_{yy}(x,y,\dots) = f_{22}(x,y,\dots)
{\partial^2 \over {\partial y \partial x}}f(x,y,\dots) = {\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}f(x,y,\dots) = f_{xy}(x,y,\dots) = f_{12}(x,y,\dots)
{\partial^2 \over {\partial x \partial y}}f(x,y,\dots) = {\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}f(x,y,\dots) = f_{yx}(x,y,\dots) = f_{21}(x,y,\dots)

Merkinnät  f_{xy}(x,y,\dots) = f_{12}(x,y,\dots) tarkoittavat, että ensin funktio derivoidaan muuttujan x suhteen ja derivoitu funktio derivoidaan sitten muuttujan y suhteen. Useimmiten osittaisderivaatat  f_{xy} = f_{yx} ovat identtiset, mutta esimerkiksi epäjatkuvuudet voivat rikkoa symmetrisyyden.[2]

Yleinen merkintätapa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun derivoidaan useasti ja eri muuttujien suhteen, syntyy erilaisia osittaisderivaattoja. Esimerkiksi

{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial z}f(x,y,z) = {\partial^5 \over {\partial y \partial x \partial y^2 \partial z}}f(x,y,z) = f_{zyyxy}

on viidennen kertaluvun osittaisderivaatta. Jos derivointijärejestyksellä ei ole tällä kertaa meritystä, voidaan esitys yksinkertaistaa

f_{zyyxy}=f_{xyyyz}= {\partial^5 \over {\partial x \partial y^3 \partial z}}f(x,y,z).

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Weisstein, Eric W.: Derivative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c d e f Weisstein, Eric W.: Partial Derivative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Miller, Jeff: Earliest Uses of Symbols of Calculus 2004. Viitattu 26.9.2014.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]