Osittaisderivaatta

Matematiikassa usean muuttujan funktion osittaisderivaatta on sen derivaatta yhden muuttujan suhteen (muita muuttujia kohdellaan vakioina). Funktion f osittaisderivaattaa muuttujan x_i suhteen merkitään $\frac{\partial f}{\partial x_i}$.

Esimerkki

Kartion tilavuus V riippuu sen korkeudesta h ja pohjan säteestä r seuraavan kaavan mukaisesti:

$V = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

V:n osittaisderivaatta r:n suhteen on

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}$.

Tämä kuvaa kartion tilavuuden muutosta pohjan säteen muuttuessa ja korkeuden pysyessä vakiona. Osittaisderivaatta h:n suhteen on

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

joka puolestaan kuvaa kartion tilavuuden muutosta korkeuden muuttuessa ja pohjan säteen pysyessä vakiona.

Osittaisderivaatan matemaattinen määritelmä

Tavallisen reaalifunktion derivaatan tapaan osittaisderivaatta on määritelty erotusosamäärän raja-arvona. Olkoon U joukon Rⁿ avoin osajoukko ja f : U → R funktio. Funktion f osittaisderivaatta i:nnen muuttujan x_i suhteen pisteessä a = (a₁,...,a_n) on tällöin määritelty seuraavasti:

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Katso myös

• Derivaatta
• Gradientti

Aiheesta muualla

• Wolfram MathWorld: Partial Derivative