Jacobin matriisi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Matriisi on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan.

Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.

Muunnoksen F : RnRm eli kuvauksen n-ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat x_i m-ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat y_i kuvaa Jacobin matriisi

 J = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon

J = \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}.

Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F-1 : RmRn on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.

Esimerkki Jacobin matriisin laskemisesta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Karteesisen koordinaatiston ja napakoordinaatiston välillä on yhteys

x = r \cos\theta\,
y = r \sin\theta\,.

Jacobin matriisin laskemiseksi on laskettava vastaavat osittaisderivaatat

\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta
\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta
\frac{\partial x}{\partial \theta} = - r \sin \theta
\frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta

Näin siis muunnoksen napakoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon kuvaa matriisi, jossa osittaisderivaatat r:n suhteen on sijoitettu ensimmäiseen sarakkeeseen ja osittaisderivaatat thetan mukaan on sijoitettu toiseen sarakkeeseen

J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kenties tärkein ominaisuus Jacobin matriisilla liittyy Jacobin determinantin laskemiseen, mikä puolestaan liittyy integraalien muuttujien vaihtoon. Nimittäin jos F : RnRn on jatkuvasti derivoituva ja injektiivinen jossain avoimessa joukossa U, joka on Rn osajoukko ja lisäksi kaikkialla täällä joukossa F:n Jacobin matriisi on kääntyvä, niin jos g : RnR on jatkuva joukossa U, niin

\int_{F(U)} g(F(x))\, dx_1dx_2dx_3...dx_n=\int_{U} g(F(x))*|J(x)|\, dx_1dx_2dx_3...dx_n

Tässä J on F:n Jacobin matriisi pisteessä x. Sen determinanttia kutsutaan myös Jacobin determinantiksi.

Yllä esitetyssä esimerkissä on oikeastaan laskettu Jacobin matriisi muuttujanvaihdolle, joka muuttaa polaarikordinaatit karteesisiksi. Tälle oikeastaan pätee tämä lause, mikä helpottaa useiden kaksiulotteisten integraalien laskemista,

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.