Jacobin matriisi

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Matriisi on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan.

Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.

Muunnoksen F : Rⁿ → R^m eli kuvauksen $n$-ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat $x_i$ $m$-ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat $y_i$ kuvaa Jacobin matriisi

$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon

$J = \frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}$.

Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F^-1 : R^m → Rⁿ on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.

Esimerkki Jacobin matriisin laskemisesta

Karteesisen koordinaatiston ja napakoordinaatiston välillä on yhteys

$x = r \cos\theta\,$

$y = r \sin\theta\,$.

Jacobin matriisin laskemiseksi on laskettava vastaavat osittaisderivaatat

$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta$

$\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta$

$\frac{\partial x}{\partial \theta} = - r \sin \theta$

$\frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta$

Näin siis muunnoksen napakoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon kuvaa matriisi, jossa osittaisderivaatat r:n suhteen on sijoitettu ensimmäiseen sarakkeeseen ja osittaisderivaatat thetan mukaan on sijoitettu toiseen sarakkeeseen

$J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}$

Ominaisuuksia

Kenties tärkein ominaisuus Jacobin matriisilla liittyy Jacobin determinantin laskemiseen, mikä puolestaan liittyy integraalien muuttujien vaihtoon. Nimittäin jos F : Rⁿ → Rⁿ on jatkuvasti derivoituva ja injektiivinen jossain avoimessa joukossa $U$, joka on Rⁿ osajoukko ja lisäksi kaikkialla täällä joukossa F:n Jacobin matriisi on kääntyvä, niin jos g : Rⁿ → R on jatkuva joukossa $U$, niin

$\int_{F(U)} g(F(x))\, dx_1dx_2dx_3...dx_n=\int_{U} g(F(x))*|J(x)|\, dx_1dx_2dx_3...dx_n$

Tässä J on F:n Jacobin matriisi pisteessä x. Sen determinanttia kutsutaan myös Jacobin determinantiksi.

Yllä esitetyssä esimerkissä on oikeastaan laskettu Jacobin matriisi muuttujanvaihdolle, joka muuttaa polaarikordinaatit karteesisiksi. Tälle oikeastaan pätee tämä lause, mikä helpottaa useiden kaksiulotteisten integraalien laskemista,

Katso myös

• Hessen matriisi