Napakoordinaatisto

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Napakoordinaatisto.

Napakoordinaatisto on kaksiulotteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman \scriptstyle \theta ja säteen \scriptstyle r funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää trigonometrian keinoilla.

Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulmaa pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen \scriptstyle x-akseli.

Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pisteet (3,60°) ja (4,210°) napakulmakoordinaatistossa.

Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat \scriptstyle r (etäisyys navasta) ja \scriptstyle \theta (kiertokulma vastapäivään positiivisesta \scriptstyle x-akselista).

Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (−3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen säde vastaa 180 asteen kiertoa.

Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti piste \scriptstyle (r, \theta) voidaan esittää muodossa \scriptstyle (r, \theta \pm n \cdot 360^{\circ}) tai \scriptstyle (-r, \theta \pm (2n+1) \cdot 180^{\circ}), jossa \scriptstyle n on mielivaltainen kokonaisluku.

Mielivaltaisia koordinaatteja \scriptstyle (0, \theta) käytetään yleensä esittämään napaa, sillä \scriptstyle \theta-koordinaatin arvosta huolimatta piste, jolle \scriptstyle r = 0, sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakulmakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina, käyttäen muunnoskaavaa \scriptstyle
2\pi \text{rad} = 360^{\circ}. Valinta riippuu usein lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.

Karteesiset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napakoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välistä suhdetta esittävä kuvaaja.

Napakoordinaatit \scriptstyle r ja \scriptstyle \theta voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi \scriptstyle x ja \scriptstyle y käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini: [1]

x = r \cos \theta
y = r \sin \theta.

Karteesiset koordinaatit \scriptstyle x ja \scriptstyle y voidaan muuntaa napakoordinaatiksi \scriptstyle r Pythagoraan lauseella:

r^2 = y^2 + x^2.

Kiertokulman \scriptstyle \theta määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:

  • Kun \scriptstyle r = 0, kulma \scriptstyle \theta voi olla mielivaltainen.
  • Kun \scriptstyle r \neq 0, kulma \scriptstyle \theta valitaan yleensä välille \scriptstyle [0, 2\pi[.

Kulman \scriptstyle \theta saamiseksi väliltä \scriptstyle [0, 2\pi[ voidaan käyttää seuraavia kaavoja (funktiota \scriptstyle \arctan merkitään joskus \scriptstyle \tan^{-1}, lähinnä laskimissa)

\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x})        & \mbox{jos } x > 0 \mbox{ ja } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{jos } x > 0 \mbox{ ja } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi  & \mbox{jos } x < 0\\
\frac{\pi}{2}               & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y > 0\\
\frac{3\pi}{2}              & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y < 0.
\end{cases}

Kulman \scriptstyle \theta saamiseksi väliltä \scriptstyle ]-\pi, \pi], voidaan käyttää seuraavaa:

\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{jos } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{jos } x < 0 \mbox{ ja } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{jos } x < 0 \mbox{ ja } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{jos } x = 0 \mbox{ ja } y < 0.
\end{cases}

Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakulmakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä r muuttujan \theta funktiona.

Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.

Ympyrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrä, jonka yhtälö on \scriptstyle r(\theta) = 1.

Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on \scriptstyle (r_0, \varphi) ja säde \scriptstyle a, on

r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2.

Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollessa navassa ja säteen ollessa \scriptstyle a:

r(\theta) = a.

Suora[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö

\theta = \varphi,

jossa \scriptstyle \varphi kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla \scriptstyle \varphi = \arctan k, jossa \scriptstyle k on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran \scriptstyle \theta = \varphi pisteessä \scriptstyle (r_0, \varphi) pätee yhtälö

r(\theta) = \frac{{r_0}}{\cos(\theta-\varphi)}.

Ruusukäyrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ruusukäyrä, jonka yhtälö on \scriptstyle r(\theta) = 2 \sin 4\theta.

Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakulmakoordinaatiston yhtälöllä

r(\theta) = a \cos (k\theta + \varphi_0)

mille tahansa vakiolle \scriptstyle \varphi_0 sisältäen nollan. Jos \scriptstyle k on pariton kokonaisluku, ruusukäyrän yhtälöt tuottavat \scriptstyle k-terälehtisen ruusun, ja jos \scriptstyle k on parillinen kokonaisluku, \scriptstyle 2k-terälehtisen ruusun. Jos \scriptstyle k on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekkäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä \scriptstyle 4n+2-terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja \scriptstyle a kuvaa ruusun terälehtien pituutta.

Arkhimedeen spiraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eräs Arkhimedeen spiraalin haara, jonka yhtälö on \scriptstyle r(\theta) = \theta, kun \scriptstyle 0 < \theta < 6\pi.

Arkhimedeen spiraali on kuuluisa Arkhimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.

r(\theta) = a + b\theta.

Muuttujan \scriptstyle a arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja muuttujan \scriptstyle b arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkhimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille \scriptstyle \theta > 0, ja toinen arvoille \scriptstyle \theta < 0. Haarat yhdistyvät napapisteessä.

Kartioleikkaukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ellipsi.

Kartioleikkaus, jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä

r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}},

jossa \scriptstyle e on eksentrisyys ja \scriptstyle \ell on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos \scriptstyle e > 1, yhtälö määrittelee hyperbelin; jos \scriptstyle e = 1, se määrittelee paraabelin; jos \scriptstyle e < 1, se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun \scriptstyle e = 0, yhtälö määrittelee \scriptstyle \ell-säteisen ympyrän.

Kompleksiluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksiluku \scriptstyle z piirrettynä kompleksitasolle.
Kompleksiluku \scriptstyle z piirrettynä kompleksitasolle käyttäen Eulerin kaavaa.

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku \scriptstyle z voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa

z = x + iy,

jossa \scriptstyle i on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa

z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)

ja edelleen muodossa

z = re^{i\theta},

jossa \scriptstyle e on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma \scriptstyle \theta ilmoitetaan radiaaneissa.)

Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korottaminen onnistuu huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Max Fogiel: The Algebra & Trigonometry Problem Solver, s. 706-A. Research & Education Assoc., 1976. ISBN 9780878915088. Google book (limited preview). (englanniksi)