Yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Yhtälön molemmissa lausekkeissa voi olla yksi tai useampi muuttuja. Silloin lausekkeet ovat yhtä suuret vain, jos näillä muuttujilla on jotkin tietyt arvot. Sen selvittämistä, millä muuttujien arvoilla lausekkeiden arvot ovat samat, sanotaan yhtälön ratkaisemiseksi ja näitä muuttujien arvoja yhtälön ratkaisuiksi.

Matematiikassa yhtälön ratkaisulla tarkoitetaan kaikkia niitä arvoja, jotka toteuttavat yhtälön. Samoin differentiaaliyhtälön ratkaisulla tarkoitetaan kaikkia niitä funktiota, jotka toteuttavat differentiaaliyhtälön. Toisinaan näkökohdasta riippuu, onko yhtälöllä ratkaisuja vai ei. Esimerkiksi x^2+1=0 ei ratkea reaalilukujen joukossa mutta kompleksiluvuilla sillä on kaksi ratkaisua.

Yhtälölle ei välttämättä ole olemassa ratkaisua. On myös mahdollista, että yhtälö on voimassa kaikilla muuttujien arvoilla. Sellaista yhtälöä sanotaan identtiseksi. Esimerkiksi yhtälöllä (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 2 ei ole ratkaisua, kun taas yhtälö (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 on identtisesti tosi. Aina muuttujille ei ole saatavissa lukuarvoa, vaan niille saadaan jonkinlainen lauseke, jolloin vastaus riippuu muista yhtälön muuttujista. Kun muuttujia on vain yksi, sitä merkitään yleensä kirjaimella x. fysiikan sovelluksissa käytetään ratkaistavan suureen symbolia.

Kun yhtälöitä on useita ja ne kaikki ovat voimassa yhtä aikaa, kutsutaan ryhmää yhtälöryhmäksi. Täsmälleen kahden yhtälön ryhmää sanotaan yhtälöpariksi.

Yhtälön molemmilla puolilla olevat lausekkeet voivat sisältää mitä tahansa matemaattisia funktioita. Jos molemmat ovat polynomeja tai niistä lisäksi vain jakolaskun ja juurenoton avulla muodostettuja algebrallisia lausekkeita, on kyseessä algebrallinen yhtälö. Jokainen algebrallinen yhtälö voidaan laskutoimitusten avulla muokata polynomiyhtälöksi, jolla on (alkuperäisen yhtälön määrittelyjoukossa) samat ratkaisut. Polynomiyhtälön aste kertoo, kuinka moneen potenssiin muuttuja suurimmillaan korotetaan. Ensimmäisen asteen yhtälöä sanotaan myös lineaariseksi yhtälöksi.

Esimerkiksi

  • 2x + 4 = 3x + 8 on yhden muuttujan ensimmäisen asteen yhtälö.
  • 3x^2 - x + 2 = -x^2 - 4 + 2 on yhden muuttujan toisen asteen yhtälö.

Mitä yhtälölle saa tehdä?[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhtä suuriksi merkityille lausekkeille saa teoriassa tehdä lähes mitä tahansa yhteisiä laskuoperaatioita. Tällöin saadaan alkuperäisen kanssa yhtäpitävä yhtälö, jolla on samat ratkaisut kuin alkuperäiselläkin. Yhtälöstä saadaan oikeat ratkaisut tehdyistä operaatioista riippumatta. Näitä operaatioita voivat olla esim. yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku nollasta poikkeavalla luvulla. Myös potenssiin korotus ja juuren ottaminen on sallittua tietyin ehdoin.

Täsmällisesti ilmaistuna yhtälön molemmat puolet voidaan esittää vastaavina funktion kuvina, jos kyseessä oleva funktio on injektio ja määritelty annetussa alkukuvassa.

Näillä keinoilla jokainen ensimmäisen asteen yhtälö voidaan muokata muotoon, jossa sen vasemmalla puolella on vain muuttuja ja oikealla puolella luku tai vakiolauseke, joka on samalla yhtälön ratkaisu.

Yhtälön ratkaiseminen:

  1. poistetaan sulut suorittamalla merkityt laskutoimitukset
  2. siirretään kaikki muuttujatermit yhtälön vasemmalle puolelle, muut oikealle ja vaihdetaan samalla etumerkit
  3. yhdistetään samanmuotoiset termit
  4. jaetaan yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella tai kerrotaan muuttujan jakajalla
  5. lopuksi sijoitetaan saatu tuntemattoman arvo alkuperäiseen yhtälöön tarkistusta varten.

Jokainen toisen asteen yhtälö voidaan saattaa muotoon

ax^2 + bx + c = 0,

missä a,\ b \text{ ja } c ovat vakioita. Voidaan osoittaa, että tämän yhtälön ratkaisut ovat

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Myös kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on olemassa yleiset ratkaisukaavat, mutta ne ovat niin monimutkaisia, ettei niitä käytännössä juuri sovelleta. On todistettu, ettei viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöille voida kehittää yleistä ratkaisukaavaa.

Erikoistapauksissa kolmannen tai sitä korkeamman asteen yhtälö on edellä esitettyjen sääntöjen avulla palautettavissa ensimmäisen tai toisen asteen yhtälöiksi, tai se voidaan muuntaa sellaiseen muotoon, että kahden tai useamman ensimmäisen tai toisen asteen polynomin tulo on nolla. Tällöin yhtälön ratkaisuja ovat näiden polynomien nollakohdat. Kaikissa tapauksissa tällaiset muunnokset eivät kuitenkaan ole mahdollisia. Sen vuoksi joudutaan käyttämään numeerisia menetelmiä ratkaisun saamiseksi, koska analyyttinen ratkaisu voi olla mahdoton tai liian työläs. Jos halutaan tietää ratkaisujen määrä, tarvitaan usein differentiaalilaskentaa. Kuitenkin n-asteisella polynomiyhtälöllä voi olla korkeintaan n reaalista ratkaisua. Kun ei käytetä algebrallisia menetelmiä, muunnetaan muotoa f(x) = g(x) oleva yhtälö usein muotoon h(x) = f(x) - g(x) = 0.

Algebran peruslauseen mukaan kompleksilukujen joukossa jokaisella polynomilla on ainakin yksi nollakohta. Toisin sanoen jokaisella sellaisella yhtälöllä, jonka toisella puolella on polynomi ja toisella puolella nolla, on ainakin yksi ratkaisu.

Mitä yhtälölle ei saa tehdä?[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisesti luvulla nolla ei saa kertoa tai jakaa yhtälöä. Tämä aiheuttaa usein virheitä tilanteissa, joissa jaetaan tai kerrotaan lausekkeella, jonka arvo on nolla. Nollalla jakaminen ei ole sallittua, koska kyseistä toimitusta ei ole määritelty matematiikassa. Nollalla kertominen puolestaan johtaa tulokseen 0=0, joka kyllä pitää paikkansa muttei kerro varsinaisesti mitään. Nollalla jaettaessa voidaan päätyä outoihin tuloksiin, kuten seuraavasta klassisesta esimerkistä nähdään:


\begin{align}
a &= b \qquad | \cdot a \\
a^2 &= ba \qquad | -b^2 \\
a^2 - b^2 &= ba - b^2 \\
(a + b)(a - b)&=  b(a - b) \qquad | :(a-b) \\
a + b &= b \qquad  \mbox{(ensimmäisestä yhtälöstä saadaan}\quad a = b) \\
b + b &= b \qquad | :b \\
1 + 1 &= 1 \\
2 &= 1 \\
\end{align}

Yllä olevassa esimerkissä on jokaisessa askeleessa suoritettu operaatio merkitty |-merkin oikealle puolelle.

Lopputuloksen valossa on selvää, että jossain kohtaa tehtiin virhe. Virhe oli se, että jaettiin lausekkeella a-b. Koska alussa määriteltiin että a=b, seuraa että a-b=0, joten tapahtui nollalla jakaminen.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]