Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen käyriä diskriminantin arvoilla >0, =0 ja <0.

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, joka on muotoa $ax^2+bx+c=0,\,\!$ kun $a \not = 0$.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin $D = b^2-4ac$ arvosta seuraavasti:

jos $D > 0\,\!$, yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta $x_{1}\,\!$ ja $x_{2}\,\!$

jos $D = 0\,\!$, yhtälöllä on kaksoisjuuri $x_{1,2}\,\!$ eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta

jos $D < 0\,\!$, yhtälöllä on kaksi kompleksista juurta $\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a} i$, jotka ovat toistensa liittoluvut.

Ratkaisukaavan johtaminen

Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö

$ax^2+bx+c = 0\,\!$.

Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:

$\begin{align} ax^2 + bx & = -c \end{align}$.

Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä $4a$.

$4a^2x^2 + 4abx = -4ac\,\!$

Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille $b^2$ saadaan

$\begin{align} 4a^2x^2+4abx+b^2 & = b^2-4ac\\ (2ax+b)^2 & = b^2-4ac\\ 2ax+b & = \pm\sqrt{b^2-4ac}\\ 2ax & = -b\pm\sqrt{b^2-4ac} \end{align}$

ja lopulta

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Juurten summa ja tulo

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ juurten $x_{1}$ ja $x_{2}$ summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):

• $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,$
• $x_1 x_2 = \frac{c}{a} \,$.

Mikäli $a = 1$, saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:

• $x_1 + x_2 = -b \,$
• $x_1 x_2 = c \,$.