Toisen asteen yhtälö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Toisen asteen käyriä diskriminantin arvoilla >0, =0 ja <0.

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka normaalimuoto on ax^2+bx+c=0,\,\! kun a \not = 0.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin D = b^2-4ac arvosta seuraavasti:

jos D > 0\,\!, yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta x_{1}\,\! ja x_{2}\,\!
jos D = 0\,\!, yhtälöllä on kaksoisjuuri x_{1,2}\,\! eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta
jos D < 0\,\!, yhtälöllä on kaksi kompleksista juurta \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a} i, jotka ovat toistensa liittoluvut.

Ratkaisukaavan johtaminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö

ax^2+bx+c = 0\,\!.

Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:

\begin{align}
ax^2 + bx & = -c
\end{align}.

Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä 4a.

4a^2x^2 + 4abx = -4ac\,\!

Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille b^2 saadaan

\begin{align}
4a^2x^2+4abx+b^2 & = b^2-4ac\\
(2ax+b)^2 & = b^2-4ac\\
2ax+b & = \pm\sqrt{b^2-4ac}\\
2ax & = -b\pm\sqrt{b^2-4ac}
\end{align}

ja lopulta

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Suppea normaalimuoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

x^2 + px + q = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{ \bigg( \frac{p}{2} \bigg) ^ 2 - q}

Juurien summa ja tulo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön ax^2 + bx + c = 0 juurten x_{1} ja x_{2} summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):

  • x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,
  • x_1 x_2 = \frac{c}{a} \,.

Mikäli a = 1, saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:

  • x_1 + x_2 = -b \,
  • x_1 x_2 = c \,.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Seppänen, Raimo; Tiihonen, Seppo; Wuolijoki, Hilkka: ”Matematiikka: Kaavoja ja määritelmiä”, Maol-taulukot, s. 22. Helsinki: Kustannusosakeyhtiö Otava, 1991. ISBN 951-1-16053-2.