Toisen asteen yhtälö

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, joka on muotoa ax^2+bx+c=0,\,\! kun a \not = 0.

[muokkaa] Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Juurien määrä riippuu diskriminantin D = b2 − 4ac arvosta seuraavasti:

jos D > 0\,\!, yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalilukujuurta x_{1}\,\! ja x_{2}\,\!
jos D = 0\,\!, yhtälöllä on kaksoisjuuri x_{1,2}\,\! eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta
jos D < 0\,\!, yhtälöllä on kaksi kompleksilukujuurta \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a} i, jotka ovat toistensa liittoluvut.

[muokkaa] Kaavan johtaminen

Kerrotaan yhtälön

ax^2+bx+c=0\,\!

molemmat puolet luvulla 4a\,\!, jolloin yhtälö tulee muotoon

4a^2x^2+4abx+4ac=0\,\!

Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille luku b^2-4ac\,\! saadaan:

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\,\!

eli

(2ax+b)^2=b^2-4ac\,\!

Tästä saadaan

2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\,\!

josta

2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\,\!

ja lopulta

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Toisen_asteen_yht%C3%A4l%C3%B6
Henkilökohtaiset työkalut