Polynomi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kolmannen asteen polynomin f(x)=\frac{1}{4}(x^3+3x^2-6x-8) kuvaaja.

Matematiikassa polynomi on lauseke, joka saadaan yhdestä tai useammasta muuttujasta ja vakioista yhteen-, vähennys- ja kertolaskulla, sekä positiiviseen kokonaislukueksponentin osoittamaan potenssiin korottamisella. Esimerkiksi lauseke x^2 - 4x + 7\, on polynomi. Lausekkeet, joissa on muuttujia myös jakajassa, eivät ole polynomeja. Polynomit ovat samalla yksi laji matemaattisia funktioita.

Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta termistä, joiden sisällä ei esiinny muita laskutoimituksia kuin kertolaskua sekä potenssiin korotusta. Jos termejä on vain yksi, on kyseessä monomi. Jos niitä on kaksi, sanotaan polynomia binomiksi ja jos niitä on kolme, trinomiksi. Edellä esitetty polynomi on siis trinomi, jonka termit ovat x², -4x ja 7.

Koulumatematiikassa polynomeja käytetään etenkin seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise x yhtälöstä x² + 2x = 4. Tällöin on kyse analyysissä käsitellyistä polynomifunktioista. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi generoivia funktioita esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.

Polynomin p(x) nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö p(x) = 0. Yllä esitetyssä kuvassa polynomilla on kolme nollakohtaa.

Polynomi renkaassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Renkaassa R voidaan määritellä polynomi p(x), p(x) = a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n, missä n \geq 0, a_i \in R \forall i. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa (a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...), jossa taas kaikki ai ovat renkaan R alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa x on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu polynomirengas R[x]. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla p(x):n määritelmässä, että rengas R on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.

Suurinta lukua n, jolla an ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin f(x) astetta merkitään deg(f(x)), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg f(x). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:

  1. \deg f(x) g(x) \leq \deg{f(x)} + \deg{g(x)}
  2. \deg (f(x) + g(x)) \leq \max \{ \deg{f(x)}, \deg{g(x)} \}

Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa yhtäsuuruus.

Reaali- ja kompleksipolynomit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Analyysissä käsitellyt polynomifunktiot yli \mathbb{C}:n ja \mathbb{R}:n ovat tärkeä sileiden funktioiden aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.

Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon numeerisessa analyysissä, jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.

Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomifunktiot on usein korvattu kehittyneemmillä splineillä. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään splini-interpoloinnissa ja tietokonegrafiikassa.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Algebran peruslause, jonka mukaan kompleksilukujen kunnassa jokaisella polynomilla, jonka aste on suurempi kuin nolla, on nollakohta.

Tekijöihin jako[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebran peruslauseesta seuraa, että reaalikertoiminen polynomi voidaan lausua sellaisten reaalikertoimisten polynomien tulona, jotka ovat ensimmäistä tai toista astetta. Toisen asteen polynomi tulee kyseeseen silloin, kun polynomin nollakohdat ovat kompleksilukuja. Ne ovat tällöin parittain toistensa kompleksikonjugaatteja.[1]

Esimerkiksi reaalikertoiminen polynomi x^4 + a^4 jakautuu tekijöihin seuraavasti:[1]

 x^4 + a^4 = (x^2 + \sqrt{2}ax + a^2)(x^2 - \sqrt{2}ax + a^2)

Koska tässä kumpaakin tekijäpolynomia vastaava diskriminantti on D = -2a^2 ja siis negatiivinen, ei tekijäpolynomeja voida enää jakaa reaalikertoimisiksi ensimmäisen asteen polynomeiksi.

Polynomeja matematiikan eri aloilta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lineaarialgebrassa neliömatriisin karakteristinen polynomi sisältää useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.

Verkkoteoriassa verkon muuttujan x kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää x värillä.

Kombinatoriikassa käytetään generoivia funktioita, joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio f(x) = 1 + 2x + , jossa siis xk:n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla k vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös f(x). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita s vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta s olevan termin kertoimesta.

Polynomien yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä x:n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa a_{-m}x^{-m}\cdots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan Laurentin polynomeiksi.

Toinen mahdollinen yleistys ovat usean muuttujan polynomit, joiden yleinen muoto on \sum_{j_1 + \cdots + j_k = 0}^{n} a_{j_1,j_2,\dots,j_k} x_1^{j_1} \cdots x_k^{j_k}. Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivisesta luvusta saadaan usean muuttujan Laurentin polynomit.

Jos hyväksytään myös äärettömän monitermiset polynomit, johdutaan analyysissä keskeisiin potenssisarjoihin.

Polynomit koulumatematiikassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomi koostuu yhdestä tai useammasta monomista. Monomia sanotaan myös termiksi.

Esim. 1. x^3+6x^2-7x\, on polynomi, joka koostuu kolmesta monomista.

Merkitään f(x)=x^3+6x^2-7x\, ja g(x)=2x^4+3x^2-5x+2\,.

Polynomeja voidaan laskea yhteen ja vähentää. Täytyy muistaa, että vain ne monomit, joissa on sama muuttujaosa, voidaan yhdistää.

Esim. 2. Lasketaan yhteen polynomit f(x)\, ja g(x)\,,

f(x)+g(x)=x^3+6x^2-7x+(2x^4+3x^2-5x+2)\,. Sulkeet voidaan poistaa, koska niiden edessä on plus-merkki. Lasketaan yhteen monomit, joissa on sama muuttujaosa.

Saadaan x^3+6x^2-7x+2x^4+3x^2-5x=2x^4+x^3+9x^2-12x+2\,.

Polynomin kertominen vakiolla tapahtuu siten, että jokainen termi kerrotaan vakiolla erikseen. Katso esim. 3.

Esim. 3. Polynomin kertominen vakiolla.

Jos vakio, jolla kerrotaan on -1\, riittää, kun polynomista vaihdetaan kaikki etumerkit.

Esim. 4. -1\cdot(x^3+6x^2-7x)=-x^3-6x^2+7x\,. Huom. Tätä merkitään myös -(x^3+6x^2-7x)\,.

Nyt siis osaamme poistaa sulkeet, kun niiden edessä on miinus-merkki.

Esim. 5. Lasketaan polynomien erotus f(x)-g(x)\,.

f(x)-g(x)=x^3+6x^2-7x-(2x^4+3x^2-5x+2)\,

=x^3+6x^2-7x-2x^4-3x^2+5x-2=-2x^4+x^3+3x^2-2x-2\,

Polynomin kertominen monomilla tapahtuu samoin kuin polynomin kertominen vakiolla. Katso esim. 6.

Esim. 6. Polynomin kertominen monomilla.

Polynomien kertolasku on sitten jo monimutkaisempi juttu. Se selviää parhaiten esimerkin avulla. Katso esim. 7. Täytyy muistaa, että "kaikki kerrotaan kaikilla."

Esim. 7. Polynomien kertolasku.





Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/42624/Polynomiyhtaloidenratkeavuusjuurilausekkein.pdf?sequence=1

Viitteet
  1. a b Heikki Lammi: Kommentti uudesta MAOL taulukkokirjasta. Dimensio, 1993, 57. vsk, nro 1, s. 62. Helsinki: Matemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL ry.