Aste (polynomi)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Polynomin aste on matematiikassa käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia polynomeja niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta monomista, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monomin aste on potenssimerkinnässä olevan eksponentin arvo. Esimerkiksi potenssin

3 x^5

aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi p(x)

p(x)=3x^6+2x^5-2x^2+x-4

muodostuu neljästä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että polynomi p(x) on kuudetta astetta, ja se voidaan merkitä myös

deg(3x^6+2x^5-2x^2+x-4) = 6,

missä deg merkitsee englanniksi degree.

Nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomifunktio, jonka jonka asteluku on n, nimetään ....

Asteen määräytyminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla nollafunktio, sillä kun ei ole astetta. Kahden polynomin P(x) ja Q(x) yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen P(x)±Q(x) aste on suurempi aste:

\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)),
\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).

Esimerkiksi summan (x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1 aste on 3, koska 3 ≤ max(3, 2). Samoin erotuksen (x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x aste on 2, koska 2 ≤ max(3, 3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:

\deg(cP)=\deg(P).

Esimerkiksi 2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4 aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin x^2+3x-2 aste.

Polynomien P(x) ja Q(x) tulon P(x)Q(x) aste on asteiden summa

\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)

ja osamäärässä P(x)/Q(x) asteiden erotus

\deg(\frac{P}{Q}) = \deg(P) - \deg(Q).

Esimerkiksi tulon (x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x aste on 3 + 2 = 5.

Polynomien P(x) ja Q(x) yhdistetyn funktion aste on asteiden tulo

\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q).

Esimerkiksi, jos P(x) = (x^3+x), Q(x) = (x^2+1), niin (P \circ Q)(x) = P(x) \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2, jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo 2 \cdot 3 = 6

Asteen määrittäminen funktion arvoista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Polynomin P(x) aste voidaan laskea raja-arvona

\deg  P = \lim_{x\rarr\infty}\frac{\log |P(x)|}{\log x}.

Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:

Yleisen funktion f(x) aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:

\deg  f = \lim_{x\to\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]