Kokonaisalue

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Rengasta R kutsutaan kokonaisalueeksi (engl. integral domain), jos R on kommutatiivinen eikä R:ssä ole nollanjakajia. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat \mathbb Z_m, missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki ab = ac \Rightarrow b = c.

Karakteristika[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkion a monikerta on na=a+a+ \cdots +a, missä yhteenlaskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta na on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla n, kun a on nollasta poikkeava, niin jokaisella D:n alkiolla b tulo nb on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon a nollasta poikkeava kokonaisalueen D alkio ja olkoon D:n karakteristika n. Tällöin na = a + ... + a = a \cdot 1 + \ldots + a \cdot 1 = a \cdot (1 + \ldots + 1) = a \cdot (n1), joten jos a \neq 0, niin täytyy olla n1 = 0, koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön nb = 0.

Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, n \neq 0. n = n_1 n_2. Tällöin n1 = (n_1 1)(n_2 1) ja koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, on n_1 1= 0 tai n_2 1 = 0. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan n_1 1 = 0. Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli n_1 = n. Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen D karakteristika on nolla, on D:ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.

Äärelliset kokonaisalueet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta. Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.

Tulos voidaan perustella seuraavasti:

Olkoon R äärellinen kokonaisalue, m kokonaisalueen R alkioiden lukumäärä ja a jokin sen nollasta eroava alkio. Olkoot b_1,b_2, ..., b_m kokonaisalueen R erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot b_1a, b_2a, ..., b_ma ovat keskenään erisuuria. Jos nimittäin olisi b_ia=b_ja erisuurilla indeksien i ja j arvoilla, niin olisi (b_i-b_j)a=0. Tällöin b_i-b_j ja a olisivat kokonaisalueen R nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot b_1a,b_2a, ..., b_ma käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen R alkiot. Erityisesti b_ka=1 jollakin k=1,...,m. Alkio b_k on tällöin alkion a käänteisalkio.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.