Diskriminantti

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Polynomin p(x)=anxn+...+a1x+a0, missä kertoimet a1,a2,...,an kuuluvat annettuun kuntaan K, diskriminantti on (2n − 1)×(2n − 1) matriisin

\left(\begin{matrix}
 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
 & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\
 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right) determinantti.

Toisen asteen yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tunnetuin erikoistapaus diskriminantista on toisen asteen polynomin p(x) = ax2+bx+c diskriminantti D = b²−4ac. Toisen asteen polynomin tapauksessa voidaan diskriminantin arvosta päätellä reaalikertoimisen yhtälön p(x) = 0 reaalisten ratkaisujen eli reaalijuurien lukumäärä:

  • Jos D > 0, niin yhtälöllä on kaksi erisuurta reaaliratkaisua.
  • Jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole yhtään reaaliratkaisua.
  • Jos D = 0, niin yhtälöllä on yksi reaaliratkaisu, ns. kaksoisjuuri.

Diskriminantin avulla ei saada selville yhtälön juuria vaan reaalisten juurien lukumäärä. Diskriminantti on nopeampi tapa laskea yhtälön reaalijuurien määrä kuin yhtälön ratkaiseminen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.