Potenssisarja

Potenssisarja on sellainen sarjakehitelmä, joka (yhden muuttujan tapauksessa) on muotoa

$f(x) = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + \ldots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i(x - c)^i$.

Tyypillinen potenssisarja on jotakin funktiota kuvaava Taylorin sarja. Usein funktion kehittäminen potenssisarjaksi tapahtuu origon ympäristössä, jolloin $c = 0$ ja kehitelmä saa yksinkertaisemman muodon

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots = \sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i$

Polynomit ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. Analyysissä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös mm. todennäköisyyslaskennassa (generoivat funktiot), elektroniikassa (Z-muunnos) tai lukuteoriassa (p-adiset luvut ja desimaaliesitykset).

Sarjakehitelmän neliö

Sarjakehitelmän neliön tarkastelemiseksi olkoon funktion f(x) sarjakehitelmä

$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... =$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

Tämän neliö on

$f^2(x) =$ $\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$ $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n =$ $\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} a_m a_n x^{m+n} =$ $\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{p=m}^{\infty} a_m a_{p-m} x^p$

jossa p = m + n ja on käytetty hyväksi ehtoa, että kertoimen a alaindeksi ei saa olla negatiivinen:

$p - m \ge 0$

eli

$p \ge m$

mp-taso

Oheiseen kuvaan viitaten on sama käydäänkö indeksialue läpi edestakaisin vasemmalta oikealle vai alhaalta ylös. Tämä vastaa summien järjestyksen vaihtamista, joten saadaan

$f^2(x) =$ $\sum_{p=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{p} a_m a_{p-m}\ x^p$

Merkitään tässä vielä

$b_p =$ $\sum_{m=0}^{p} a_m a_{p-m}\$

jolloin voidaan kirjoittaa

$f^2(x) =$ $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$

jossa siis kertoimet b saadaan alkuperäisen sarjakehitelmän kertoimista

$b_n =$

$\sum_{m=0}^{n} a_m a_{n-m}\$