Taylorin sarja

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun
Sininen viiva kuvaa eksponenttifunktiota. Punainen viiva on Taylorin sarjan n+1 ensimmäisen termin summa, joka approksimoi eksponenttifunktiota.

Taylorin sarja tarkoittaa matematiikassa avoimella välillä ]a-r,a+r[ jatkuvasti derivoituvaa reaali- tai kompleksiarvoista funktiota f, joka on määritelty kaavalla

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}. [1]

Yllä olevan sarjan kehitteli Brook Taylor. Erityisesti tilanteessa jossa a = 0 puhutaan Colin Maclaurinin mukaan nimetystä Maclaurinin sarjasta. Sen yleinen muoto on siis

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.

Useamman muuttujan funktiolle Taylorin sarjaksi saadaan

f(x_1,\ldots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}.

Taylorin sarja on yksinkertainen erikoistapaus potenssisarjasta. Funktion likiarvon laskemiseen on usein käytännöllistä käyttää Taylorin sarjaa, sillä sarjakehitelmästä saatavan approksimaation virhe on aina tarkasti tunnettu.

Jos funktiota kuvaava Taylorin sarja suppenee jollakin välillä ]a-r,a+r[, funktio on analyyttinen kyseisellä välillä.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Eräiden funktioiden sarjakehitelmiä

Monille funktioille on mahdollista kirjoittaa Taylorin (tai oikeammin Maclaurinin) sarja, joka kuvaa funktiota sitä tarkemmin, mitä enemmän termejä sarjakehitelmästä huomioidaan. Erityisesti jos summaus suoritetaan nollasta äärettömään, sarja vastaa täsmälleen annettua funktiota niillä x:n arvoilla, joilla se ylipäänsä suppenee. Eräitä tärkeitä sarjoja ovat (! tarkoittaa kertomaa)

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots
\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots suppenee, kun |x|< 1.
\sqrt{(1 + x)} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2\cdot 4}x^2 + \frac{1\cdot 3}{1\cdot 4\cdot 6}x^3 - \ldots
(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \ldots\,
(1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots\,

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla

[muokkaa] Lähteet

  1. ↑ Richard Courant & Fritz John: ”5.4”, Introduction to Calculus and Analysis 1. Springer, . ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)


Matematiikkatyngät Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.
Voit auttaa laajentamaan myös muita samankaltaisia artikkeleita.
Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org/wiki/Taylorin_sarja
Henkilökohtaiset työkalut