Analyyttinen funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Analyyttinen funktio on funktio, joka voidaan paikallisesti esittää suppenevana potenssisarjana. On olemassa reaalisia analyyttisiä funktioita ja kompleksisia analyyttisiä funktioita.

Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon G pisteessä.

Analyyttinen reaalifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muodollisesti funktio f on reaalinen analyyttinen funktio reaaliakselin avoimessa joukossa D, jos missä tahansa joukon D pisteessä x voidaan kirjoittaa

\begin{align}
f(x) &= \sum_{n=0}^\infty a_{n} (x-x_0)^{n} \\
&= a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \dots,
\end{align}

missä kertoimet a_0,a_1,\dots ovat reaalilukuja ja sarja suppenee kohti funktiota f(x), kun x on valittu pisteen x_0 ympäristöstä.

Analyyttinen funktio voidaan määritellä myös toisella tavalla. Analyyttinen funktio on äärettömästi derivoituva funktio, jonka määrittelyalueen missä tahansa pisteessä x_0 kehitetty Taylorin sarja

 T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

suppenee kohti funktiota T(x), kun x on valittu pisteen x_0 ympäristöstä (keskineliömielessä).

Kaikkien reaalisten analyyttisten funktioiden joukkoa annetussa määrittelyjoukossa D merkitään usein kirjoittamalla C^\omega(D). Jossakin reaaliakselin osajoukossa määritelty funktio f on reaalinen analyyttinen funktio pisteessä x, jos on olemassa kyseisen pisteen ympäristö D, jossa funktio f on reaalianalyyttinen.

Analyyttinen kompleksifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksilukujen joukossa tai jossakin sen joukossa määritelty funktio on analyyttinen kompleksitason alueessa A, jos sillä on derivaatta tässä alueessa. Funktio on analyyttinen pisteessä z, jos sillä on derivaatta jossakin tämän pisteen ympäristössä.[1] Analyyttisia kompleksifunktioita tutkii funktioteoria.

Voidaan osoittaa, että jos funktio on analyyttinen jollakin alueella, sillä on kaikkien korkeampienkin kertalukujen derivaatat ja se voidaan esittää Taylorin sarjana

f(z) =  \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^{n}[2]

Analyyttisen funktion derivaatta ja kaikki korkeampien kertalukujen derivaatat ovat myös analyyttisia funktioita.[3]

Jos analyyttisen funktion derivaatta jossakin pisteessä ei ole nolla, funktio on samalla konformikuvaus jostakin tämän pisteen ympäristöstä johonkin kompleksitason alueeseen.[4]

Analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosa ovat jollakin tasoalueella määriteltyjä harmonisia funktioita.[5]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Useimmat erikoisfunktiot ovat analyyttisiä anakin jossakin kompleksitason osassa. Tyypillisiä esimerkkejä analyyttisista funktioista ovat seuraavat.

  • Kaikki (reaaliset tai kompleksiset) polynomit ovat analyyttisia funktioita. Jos polynomin aste on n, niin Taylorin sarjassa kaikkien sitä korkeampiasteisten termien pitää mennä nolliksi, jolloin sarja suppenee triviaalisti. Jokaisen polynomin Maclaurinin sarja on myös polynomi itse.
  • Eksponenttifunktio on analyyttinen sekä reaali- että kompleksilukujen joukossa. Määritelmän mukaan riittää, että funktion Taylorin sarja suppenee riittävän läheltä pistettä x_0 valituissa pisteissä x, mutta eksponenttifunktion Taylorin sarja suppenee kaikissa muuttujan x reaali- tai kompleksiarvoilla.

Tyypillisiä esimerkkejä funktioista, jotka eivät ole analyyttisiä ovat puolestaan seuraavat.

  • Itseisarvofunktio (reaali- tai kompleksiluvuilla määriteltynä) ei ole kaikkialla analyyttinen, koska se ei ole differentioituva pisteessä 0. Paloittain määritellyt funktiot (jotka määritellään eri kaavoilla määrittelyjoukon eri osissa) eivät tyypillisesti ole analyyttisia niissä kohdissa, joissa palaset yhtyvät.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Olli Lehto: Funktioteoria I - II, s. 13. Limes ry, 1980. ISBN 951-745-077-X.
  2. Lehto, s. 58
  3. Lehto, s. 60
  4. Lehto, s. 14
  5. Lehto, s. 87

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja vieraskielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: sv:Analytic function
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.