Analyyttinen funktio

Analyyttinen funktio on funktio, joka voidaan paikallisesti esittää suppenevana potenssisarjana. On olemassa reaalisia analyyttisiä funktioita ja kompleksisia analyyttisiä funktioita.

Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon $G$ pisteessä.

Analyyttinen reaalifunktio

Muodollisesti funktio $f$ on reaalinen analyyttinen funktio reaaliakselin avoimessa joukossa $D$, jos missä tahansa joukon $D$ pisteessä $x$ voidaan kirjoittaa

$\begin{align} f(x) &= \sum_{n=0}^\infty a_{n} (x-x_0)^{n} \\ &= a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \dots, \end{align}$

missä kertoimet $a_0,a_1,\dots$ ovat reaalilukuja ja sarja suppenee kohti funktiota $f(x)$, kun $x$ on valittu pisteen $x_0$ ympäristöstä.

Analyyttinen funktio voidaan määritellä myös toisella tavalla. Analyyttinen funktio on äärettömästi derivoituva funktio, jonka määrittelyalueen missä tahansa pisteessä $x_0$ kehitetty Taylorin sarja

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

suppenee kohti funktiota $T(x)$, kun $x$ on valittu pisteen $x_0$ ympäristöstä (keskineliömielessä).

Kaikkien reaalisten analyyttisten funktioiden joukkoa annetussa määrittelyjoukossa $D$ merkitään usein kirjoittamalla $C^\omega(D)$. Jossakin reaaliakselin osajoukossa määritelty funktio $f$ on reaalinen analyyttinen funktio pisteessä $x$, jos on olemassa kyseisen pisteen ympäristö $D$, jossa funktio $f$ on reaalianalyyttinen.

Analyyttinen kompleksifunktio

Kompleksilukujen joukossa tai jossakin sen joukossa määritelty funktio on analyyttinen kompleksitason alueessa A, jos sillä on derivaatta tässä alueessa. Funktio on analyyttinen pisteessä z, jos sillä on derivaatta jossakin tämän pisteen ympäristössä. Analyyttisia kompleksifunktioita tutkii funktioteoria.

Voidaan osoittaa, että jos funktio on analyyttinen jollakin alueella, sillä on kaikkien korkeampienkin kertalukujen derivaatat ja se voidaan esittää Taylorin sarjana

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^{n}$

Analyyttisen funktion derivaatta ja kaikki korkeampien kertalukujen derivaatat ovat myös analyyttisia funktioita.

Jos analyyttisen funktion derivaatta jossakin pisteessä ei ole nolla, funktio on samalla konformikuvaus jostakin tämän pisteen ympäristöstä johonkin kompleksitason alueeseen.

Analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosa ovat jollakin tasoalueella määriteltyjä harmonisia funktioita.

Esimerkkejä

Useimmat erikoisfunktiot ovat analyyttisiä anakin jossakin kompleksitason osassa. Tyypillisiä esimerkkejä analyyttisista funktioista ovat seuraavat.

• Kaikki (reaaliset tai kompleksiset) polynomit ovat analyyttisia funktioita. Jos polynomin aste on $n$, niin Taylorin sarjassa kaikkien sitä korkeampiasteisten termien pitää mennä nolliksi, jolloin sarja suppenee triviaalisti. Jokaisen polynomin Maclaurinin sarja on myös polynomi itse.

• Eksponenttifunktio on analyyttinen sekä reaali- että kompleksilukujen joukossa. Määritelmän mukaan riittää, että funktion Taylorin sarja suppenee riittävän läheltä pistettä $x_0$ valituissa pisteissä $x$, mutta eksponenttifunktion Taylorin sarja suppenee kaikissa muuttujan $x$ reaali- tai kompleksiarvoilla.

• Trigonometriset funktiot, logaritmi ja potenssifunktiot ovat analyyttisiä missä tahansa määrittelyalueensa avoimessa osajoukossa.

Tyypillisiä esimerkkejä funktioista, jotka eivät ole analyyttisiä ovat puolestaan seuraavat.

• Itseisarvofunktio (reaali- tai kompleksiluvuilla määriteltynä) ei ole kaikkialla analyyttinen, koska se ei ole differentioituva pisteessä $0$. Paloittain määritellyt funktiot (jotka määritellään eri kaavoilla määrittelyjoukon eri osissa) eivät tyypillisesti ole analyyttisia niissä kohdissa, joissa palaset yhtyvät.

• Kompleksikonjugaattifunktio $z\to z^*$ ei ole kompleksinen analyyttinen funktio. Sen rajoittuma eli restriktio reaaliakselille on identiteettifunktio, joka puolestaan on reaalisesti analyyttinen funktio joukosta $\mathbb{R}^2$ joukkoon $\mathbb{R}^2$.

Katso myös

• Funktioteoria
• Cauchyn–Riemannin yhtälö
• Meromorfinen funktio