Kertoma

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee matemaattista kertomaa. Artikkeli verbien aikamuodosta, katso imperfekti.

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
15	1 307 674 368 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000
50	3,04140932... × 10⁶⁴
70	1,19785717... × 10¹⁰⁰
450	1,73368733... × 10¹⁰⁰⁰
3249	6,41233768... × 10^{10 000}
25206	1,205703438... × 10^{100 000}

Positiivisen kokonaisluvun $n$ kertoma on $n$ :n ja kaikkien $n$ :ää pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Esimerkiksi luvun neljä kertoma on 1×2×3×4 = 24. Kertomaa merkitään symbolilla $n!$ , joka lausutaan: ”n:n kertoma”. Nollan kertoma on 1. Kertoma voidaan määritellä myös muille kuin kokonaisluvuille.

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää.

Merkinnän $n!$ esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.

Sisällysluettelo

1 Määritelmä
2 Kasvunopeus
- 2.1 Stirlingin kaava
3 Lukuteoria
4 Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona
5 Katso myös
6 Aiheesta muualla

[muokkaa] Määritelmä

Luvun $n$ kertoma määritellään seuraavasti:

$n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ kaikilla luonnollisilla luvuilla

n

.

Esimerkiksi

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$ .

On lisäksi määritelty, että $0! = 1$ , koska tyhjä tulo on $1$ .

[muokkaa] Kasvunopeus

[muokkaa] Stirlingin kaava

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:

$n! \approx \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}$ .

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on voimassa arvio

$\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n}}$ .

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

$\left( \frac{10}{e} \right)^{10} \sqrt{2 \pi \cdot 10}$	$\approx$	$3 \, 598 \, 696$
$\left( \frac{100}{e} \right)^{100} \sqrt{2 \pi \cdot 100}$	$\approx$	$9{,}325 \cdot 10^{157}$
$\left( \frac{10^6}{e} \right)^{10^6} \sqrt{2 \pi \cdot 10^6}$	$\approx$	$8{,}265 \cdot 10^{5 \, 565 \, 708}$
$\left( \frac{10^9}{e} \right)^{10^9} \sqrt{2 \pi \cdot 10^9}$	$\approx$	$9{,}905 \cdot 10^{8 \, 565 \, 705 \, 522}$

[muokkaa] Lukuteoria

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti $n!$ on jaollinen kaikilla lukua $n$ pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että $n > 5$ on yhdistetty luku, jos ja vain jos

$(n-1)!\ \equiv\ 0 \ ({\rm mod}\ n)$ .

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

$(p-1)!\ \equiv\ -1 \ ({\rm mod}\ p)$ ,

jos ja vain jos $p$ on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa $n! \pm 1$ . Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

[muokkaa] Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

$n! = \prod_{p\leq n} p^{ \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor }$ ,

missä luvut $p$ ovat alkulukuja.

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla

Mathworld: Factorial (englanniksi)
Mathworld. Stirling's Approximation (englanniksi)
http://factorielle.free.fr (englanniksi)

Kertoma

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Määritelmä

[muokkaa] Kasvunopeus

[muokkaa] Stirlingin kaava

[muokkaa] Lukuteoria

[muokkaa] Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla

Näkymät

Henkilökohtaiset työkalut

Haku

Valikko

Osallistuminen

Työkalut

Muilla kielillä