Kertoma

Wikipedia

Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista kertomaa. Artikkeli verbien aikamuodosta, katso imperfekti.
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73368733... × 101000
3249 6,41233768... × 1010 000
25206 1,205703438... × 10100 000

Positiivisen kokonaisluvun n kertoma on n:n ja kaikkien n:ää pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Esimerkiksi luvun neljä kertoma on 1×2×3×4 = 24. Kertomaa merkitään symbolilla n!, joka lausutaan: ”n:n kertoma”. Nollan kertoma on 1. Kertoma voidaan määritellä myös muille kuin kokonaisluvuille.

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää.

Merkinnän n! esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.

Sisällysluettelo

[muokkaa] Määritelmä

Luvun n kertoma määritellään seuraavasti:

n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n kaikilla luonnollisilla luvuilla n.

Esimerkiksi

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120.

On lisäksi määritelty, että 0! = 1, koska tyhjä tulo on 1.

[muokkaa] Kasvunopeus

[muokkaa] Stirlingin kaava

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:

n! \approx \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}.

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla n on voimassa arvio

\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n}}.

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

\left( \frac{10}{e} \right)^{10} \sqrt{2 \pi \cdot 10} \approx 3 \, 598 \, 696
\left( \frac{100}{e} \right)^{100} \sqrt{2 \pi \cdot 100} \approx 9{,}325 \cdot 10^{157}
\left( \frac{10^6}{e} \right)^{10^6} \sqrt{2 \pi \cdot 10^6} \approx 8{,}265 \cdot 10^{5 \, 565 \, 708}
\left( \frac{10^9}{e} \right)^{10^9} \sqrt{2 \pi \cdot 10^9} \approx 9{,}905 \cdot 10^{8 \, 565 \, 705 \, 522}

[muokkaa] Lukuteoria

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti n! on jaollinen kaikilla lukua n pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että n > 5 on yhdistetty luku, jos ja vain jos

(n-1)!\ \equiv\ 0 \ ({\rm mod}\ n).

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

(p-1)!\ \equiv\ -1 \ ({\rm mod}\ p),

jos ja vain jos p on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa n! \pm 1. Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

[muokkaa] Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

n! = \prod_{p\leq n} p^{ \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor },

missä luvut p ovat alkulukuja.

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Aiheesta muualla

Henkilökohtaiset työkalut