Kertoma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista kertomaa. Artikkeli verbien aikamuodosta, katso imperfekti.
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73368733... × 101000
3249 6,41233768... × 1010 000
25206 1,205703438... × 10100 000

Positiivisen kokonaisluvun n kertoma on luvun n ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään n!. Esimerkiksi

4 ! = 4  \times  3  \times  2  \times  1 = 24  \

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.

Merkinnän n! esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.[1]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luvun n kertoma määritellään seuraavasti: [2]

n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n kaikilla luonnollisilla luvuilla n.

Esimerkiksi

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120.

On lisäksi määritelty, että 0! = 1, koska tyhjä tulo on 1. Luvun n kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.

Kasvunopeus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertoma kasvaa varsin nopeasti. Monilla laskimilla saatu likiarvo 69:n kertomasta, (1{,}7 \cdot 10^{98}) on jo yli triljoonakertaisesti ihmiskunnan arvioimaa tunnetun maailmankaikkeuden atomimäärää suurempi.

Stirlingin kaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:

n! \approx \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}.

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla n on voimassa arvio

\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2 \pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n+\frac{1}{12n}}.

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

\left( \frac{10}{e} \right)^{10} \sqrt{2 \pi \cdot 10} \approx 3 \, 598 \, 696
\left( \frac{100}{e} \right)^{100} \sqrt{2 \pi \cdot 100} \approx 9{,}325 \cdot 10^{157}
\left( \frac{10^6}{e} \right)^{10^6} \sqrt{2 \pi \cdot 10^6} \approx 8{,}265 \cdot 10^{5 \, 565 \, 708}
\left( \frac{10^9}{e} \right)^{10^9} \sqrt{2 \pi \cdot 10^9} \approx 9{,}905 \cdot 10^{8 \, 565 \, 705 \, 522}

Lukuteoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti n! on jaollinen kaikilla lukua n pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että n > 5 on yhdistetty luku, jos ja vain jos

(n-1)!\ \equiv\ 0 \ ({\rm mod}\ n).

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

(p-1)!\ \equiv\ -1 \ ({\rm mod}\ p),

jos ja vain jos p on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa \scriptstyle n! \pm 1. Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

n! = \prod_{p\leq n} p^{ \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor },

missä luvut p ovat alkulukuja.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Florian Cajori: ”448”, A History of mathematical Notations, Volume II, s. 72. . ISBN 978-1-60206-713-4.
  2. Richard Courant & Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis 1 - Volume 1, s. 56. Springer, 1999. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]