Permutaatio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa permutaatioilla tarkoitetaan alkioiden järjestystä. Esimerkiksi järjestetyn joukon (1,2,3,4) yksi permutaatio on (1,3,2,4). Permutaatioiden lukumäärä k-alkioisessa järjestetyssä joukossa on k:n kertoma k!. Tämä nähdään seuraavasti:

Oletetaan että joukossa on k kappaletta alkioita. Otetaan ensimmäinen paikka jonosta: tähän voidaan asettaa mikä tahansa alkio alkuperäisestä joukosta. Jonon seuraavaan paikkaan voi asettaa minkä tahansa jäljelle jääneistä k-1:stä alkiosta. Tätä alkioiden asettelua jatketaan kunnes kaikki alkiot on käyty läpi. Tuloksena kaikkien mahdollisten jonojen lukumäärälle saadaan k * (k-1) * ... * 2 * 1 = k!

Jos järjestettävissä alkioissa on samoja alkioita, esimerkiksi (1,1,2,4) permutaatioiden lukumäärässä samat alkiot luetaan eriäviksi. Näin ollen kertoma k! sisältää esimerkiksi järjestyksen (1,2,1,4) kaksi kertaa, sillä 1-alkioiden paikat voidaan vaihtaa keskenään. Siten voidaan myös sanoa, että permutaatio äärellisestä joukosta X on bijektio itseensä.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun n erilaisesta helmestä muodostetaan helminauha, niin helmet voidaan asettaa n! erilaiseen järjestykseen. Helminauhassa on kuitenkin sama, mistä helmestä tarkastelu aloitetaan, joten em. kertoma tulee jakaa helminauhan "jaksolla" n. Helminauha on myös sama, jos se käännetään ympäri. Tämä seikka johtaa vielä kahdella jakamiseen, joten erilaisten helminauhojen lukumäärä on

{n! \over n \cdot 2} = {(n-1)! \over 2}, n > 2

Esimerkiksi neljästä helmestä saadaan kolme erilaista nauhaa:

1 – 2      1 – 2      1 – 3
|     |       |     |       |     |
4 – 3      3 – 4      4 – 2

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.