Kolmiulotteisen Levi-Civita-symbolin graafinen esitys. Levi-Civita-symbolia eli permutaatiosymbolia käytetään matematiikassa tietyissä tensorilaskuissa.[1] Tullio Levi-Civitan mukaan.
Levi-Civita-symbolin alaindeksien permutaatiossa jotkin sen vierekkäin olevan alaindeksit vaihtavat paikkaa keskenään.
Levi-Civita-symboli kolmessa ulottuvuudessa määritellään alaindeksien permutaatioiden kautta seuraavasti [2]
ϵ
i
j
k
=
{
+
1
jos
(
i
,
j
,
k
)
on
(
1
,
2
,
3
)
,
(
3
,
1
,
2
)
tai
(
2
,
3
,
1
)
,
−
1
jos
(
i
,
j
,
k
)
on
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
tai
(
2
,
1
,
3
)
,
0
jos
i
=
j
,
j
=
k
tai
k
=
i
,
{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{jos }}(i,j,k){\mbox{ on }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ tai }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{jos }}(i,j,k){\mbox{ on }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ tai }}(2,1,3),\\0&{\mbox{jos }}i=j,~j=k{\mbox{ tai }}k=i,\end{cases}}}
eli Levi-Civita-symboli saa arvon
ϵ
i
j
k
=
1
{\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{ijk}=1}
(
i
j
k
)
{\displaystyle \scriptstyle (ijk)}
(
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle \scriptstyle (1,2,3)}
ϵ
i
j
k
=
−
1
{\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{ijk}=-1}
(
i
j
k
)
{\displaystyle \scriptstyle (ijk)}
(
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle \scriptstyle (1,2,3)}
ϵ
i
j
k
=
0
{\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{ijk}=0}
Levi-Civita-symbolia voidaan käyttää
A
{\displaystyle \scriptstyle A}
3
×
3
{\displaystyle \scriptstyle 3\times 3}
determinantin laskemiseen seuraavasti
d
e
t
A
=
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
a
1
i
a
2
j
a
3
k
{\displaystyle detA=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}
missä siis
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
A
{\displaystyle \scriptstyle A}
Levi-Civita-symbolin ja Kroneckerin deltan suhteen voi esittää kolmessa ulottuvuudessa seuraavasti
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
l
m
n
=
det
[
δ
i
l
δ
i
m
δ
i
n
δ
j
l
δ
j
m
δ
j
n
δ
k
l
δ
k
m
δ
k
n
]
{\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{bmatrix}}}
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
l
m
n
=
δ
i
l
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
)
+
δ
i
m
(
δ
j
n
δ
k
l
−
δ
j
l
δ
k
n
)
+
δ
i
n
(
δ
j
l
δ
k
m
−
δ
j
m
δ
k
l
)
{\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}=\delta _{il}(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km})+\delta _{im}(\delta _{jn}\delta _{kl}-\delta _{jl}\delta _{kn})+\delta _{in}(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl})\,\!}
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
l
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
Saatua muotoa kutsutaan Levi-Civita-symbolin identiteetiksi.
