Levi-Civita-symboli

Kolmeulotteisen Levi-Civita-symbolin graafinen esitys

Levi-Civita-symbolia eli permutaatiosymbolia käytetään matematiikassa tietyissä tensorilaskuissa. Se on nimetty italialaisen matemaatikon Tullio Levi-Civitan mukaan.

Määritelmä

Levi-Civita-symbolin alaindeksien Permutaatiossa jotkin sen vierekkäin olevan alaindeksit vaihtavat paikkaa keskenään.

Levi-Civita-symboli kolmessa ulottuvuudessa määritellään alaindeksien permutaatioiden kautta seuraavasti

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{jos } (i,j,k) \mbox{ on } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ tai } (2,3,1), \\ -1 & \mbox{jos } (i,j,k) \mbox{ on } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ tai } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{jos } i=j,~ j=k \mbox{ tai } k=i, \end{cases}$

eli Levi-Civita-symboli saa arvon $\scriptstyle \epsilon_{ijk} = 1$, jos $\scriptstyle (ijk)$ saadaan parillisella permutaatiomäärällä $\scriptstyle (1,2,3)$:sta ja arvon $\scriptstyle \epsilon_{ijk} = -1$, jos $\scriptstyle (ijk)$ saadaan parittomalla permutaatiomäärällä $\scriptstyle (1,2,3)$:sta. Lisäksi, jos Levi-Civita-symbolissa on vähintään kaksi samaa alaindeksiä, se saa arvoksi $\scriptstyle \epsilon_{ijk} = 0$.

Levi-Civita-symboli determinantin esityksessä

Levi-Civita-symbolia voidaan käyttää $\scriptstyle A$:n $\scriptstyle 3 \times 3$-matriisin determinantin laskemiseen seuraavasti

$det A = \sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}$,

missä siis $\scriptstyle a$:t ovat matriisin $\scriptstyle A$ alkioita.

Levi-Civita-symboli ja Kroneckerin delta

Levi-Civita-symbolin ja Kroneckerin deltan suhteen voi esittää kolmessa ulottuvuudessa seuraavasti

$\sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \det \begin{bmatrix} \delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\ \end{bmatrix}$

$\sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \delta_{il}(\delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}) + \delta_{im}(\delta_{jn}\delta_{kl} - \delta_{jl}\delta_{kn}) + \delta_{in}(\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}) \,\!$

$\sum_{i,j,k = 1}^3 \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$.

Saatua muotoa kutsutaan Levi-Civita-symbolin identiteetiksi.

Katso myös

• Kroneckerin delta