Kroneckerin delta

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kroneckerin delta (\delta_{ij}) on Leopold Kroneckerin mukaan nimetty matemaattinen kahden muuttujan, yleensä kokonaislukumuuttujan funktio, jonka arvo on 1, jos molemmat muuttujat ovat yhtä suuria, muutoin 0. Niinpä esimerkiksi \delta_{12} = 0, mutta \delta_{33} = 1. Kroneckerin delta käsitetään yleensä pikemminkin lyhennysmerkinnäksi kuin varsinaiseksi funktioksi.

Kroneckerin delta ilmaistaan tavanomaisesti yhtälöllä[1]

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{jos } i=j   \\ 
0, & \mbox{jos } i \ne j   \end{matrix}\right.

Toisinaan käytetään myös yhden muuttujan Kroneckerin deltaa, \delta_i:

\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{jos } i=0  \\ 
0, & \mbox{jos } i \ne 0 \end{matrix}\right.

Kroneckerin deltaa käytetään monilla matematiikan aloilla, etenkin lineaarialgebrassa sekä myös signaalinkäsittelyssä.

Kroneckerin deltan ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matemaattisia sarjoja käsiteltäessä Kroneckerin deltalla on se huomattava ominaisuus, että jos j on mielivaltainen kokonaisluku, pätee mille tahansa lukusarjalle a_i:

\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j..

Jos kokonaislukujen joukko käsitetään mitta-avaruudeksi, jossa alkioiden lukumäärä ilmaisee osajoukon mitan, tämä yhtälö on analoginen Diracin deltafunktion kanssa, jolle määritelmän mukaan pätee:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),

Diracin deltafunktio onkin saanut nimensä tämän analogian perusteella.

Kroneckerin delta lineaarialgebrassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lineaarialgebrassa yksikkömatriisi on matriisi, jonka päälävistäjällä kaikki luvut ovat ykkösiä, muualla nollia:


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Näin ollen matriisin i:nnellä rivillä j:nnessä sarakkeessa oleva alkio I_{ij} on 1, jos i = j, muutoin 0, toisin sanoen se on aina sama kuin Kroneckerin delta \delta_{ij}. Tämä matriisi voidaankin kirjoittaa lyhyesti muotoon (\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,,

missä n on matriisin sarakkeiden ja samalla rivien lukumäärä.

Matriiseja käytetään ilmaisemaan lineaarikuvausten. Tämä Kroneckerin delta-matriisi vastaa tällöin identtistä kuvausta.

Integraaliesityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktioteoreettisessa residylaskennassa on muutamia tärkeitä integraaleja, joiden arvo voidaan aina ilmaista Kroneckerin deltan avulla. Tällainen on erityisesti seuraava:

  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint z^{x-n-1} dz,

missä integrointi on suoritettu vastapäivään kompleksitason origon ympäri. Tämä voidaan yhtäpitävästi esittää myös seuraavasti:

  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} d\varphi,

mikä vastaa kompleksitason kiertoa origon ympäri.

Määritelmän laajennus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Samaan tapaan voidaan määritellä myös useamman lukuparin (i_n, j_n) Kroneckerin delta seuraavasti:

\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \prod_{k=1}^n \delta_{i_k j_k}.

Tämä on 1, jos vain jos jokaisessa lukuparissa (i_n, j_n on in = jn, muutoin 0.

Digitaalinen signaalinkäsittely[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kroneckerin deltaa käytetään myös digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, jossa se käsitetään kokonaislukujen joukossa \mathbb{Z} määritellyksi funktioksi 
\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0.\end{cases}

Kroneckerin deltasta käytetään signaalinkäsittelyssä myös nimitystä impulssi tai yksikköimpulssi.

Signaalinkäsittelyssä käytetään joko Kroneckerin deltaa tai Diracin deltafunktiota riippuen siitä, onko signaali jatkuva vai diskreetti. Niinpä merkintää \delta(t)\, käytetään jatkuvien signaalien yhteydessä, kun taas argumentteja i, j, k, l, m ja n käytetään diskreeteille impulsseille. Toinen yleinen käytäntö on merkitä diskreettiä jonoja hakasuluilla:  \delta[n]\,.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. David J. Griffths: ”2.2”, Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)