Binomikerroin

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos n,k \in \mathbb{N} ja k \leq n, niin binomikerroin

{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla n alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on k alkiota.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pascalin kolmion kuusi ensimmäistä riviä

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:

  • {n \choose k}={n \choose n-k}
  • {n \choose 0}={n \choose n} = 1
  • {n \choose 1}={n \choose n-1} = n
  • Pascalin sääntö: {n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}
  • \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

Binomin potenssit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

(a+b)^2 = {2 \choose 0} a^2 + {2 \choose 1} ab + {2 \choose 2} b^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a+b)^3 = {3 \choose 0} a^3 + {3 \choose 1} a^2b + {3 \choose 2} ab^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a+b)^4 = {4 \choose 0} a^4 + {4 \choose 1} a^3b + {4 \choose 2} a^2b^2 + {4 \choose 3} ab^3 + {4 \choose 4} b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin

{-n \choose k} = (-1)^k {n+k-1 \choose k} = (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} .

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Binomikertoimelle {n \choose k} on voimassa seuraavat arviot:

  •  {n \choose k} \le \frac{n^k}{k!}
  •  {n \choose k} \le \left(\frac{n\cdot e}{k}\right)^k
  • {n\choose k}\ge \left(\frac{n}{k}\right)^k

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]