Binomikerroin

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos $n,k \in \mathbb{N}$ ja $k \leq n$, niin binomikerroin

${n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$.

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla $n$ alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on $k$ alkiota.

Ominaisuuksia

Pascalin kolmion kuusi ensimmäistä riviä

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:

• ${n \choose k}={n \choose n-k}$
• ${n \choose 0}={n \choose n} = 1$
• ${n \choose 1}={n \choose n-1} = n$
• Pascalin sääntö: ${n+1 \choose k}={n \choose k-1}+{n \choose k}$
• $\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n$

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta.

Binomin potenssit

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

$(a+b)^2 = {2 \choose 0} a^2 + {2 \choose 1} ab + {2 \choose 2} b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)^3 = {3 \choose 0} a^3 + {3 \choose 1} a^2b + {3 \choose 2} ab^2 + {3 \choose 3} b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a+b)^4 = {4 \choose 0} a^4 + {4 \choose 1} a^3b + {4 \choose 2} a^2b^2 + {4 \choose 3} ab^3 + {4 \choose 4} b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Yleistyksiä

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin

${-n \choose k} = (-1)^k {n+k-1 \choose k} = (-1)^k \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} .$

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja

Binomikertoimelle ${n \choose k}$ on voimassa seuraavat arviot:

• ${n \choose k} \le \frac{n^k}{k!}$

• ${n \choose k} \le \left(\frac{n\cdot e}{k}\right)^k$

• ${n\choose k}\ge \left(\frac{n}{k}\right)^k$

Aiheesta muualla

• Binomial Coefficient