Raja-arvo

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa raja-arvo eli limes kuvaa funktion käyttäytymistä, kun sen muuttuja lähestyy tiettyä pistettä tai ääretöntä, tai lukujonon käyttäytymistä, kun sen indeksi lähestyy ääretöntä. Raja-arvoa käytetään matemaattisessa analyysissä määrittämään jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

Funktion raja-arvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että f(x) on reaaliarvoinen funktio ja c on reaaliluku. Lause

 \lim_{x \to c}f(x) = L

tarkoittaa että f(x) saadaan miten lähelle tahansa lukua L viemällä x riittävän lähelle lukua c. Tämä voidaan ilmaista sanoin: "f(x):llä on kohdassa c raja-arvo L". On syytä huomata, että tämä voi päteä vaikka f(c) ≠ L. Funktion f(x) ei tarvitse olla edes määritelty arvolla c

Esimerkiksi funktiolla

 f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

f(1) ei ole määritelty (katso nollalla jakaminen). Silti kun x viedään riittävän lähelle arvoa 1, f(x) saadaan mielivaltaisen lähelle arvoa 2, kuten alla olevasta taulukosta nähdään. Näin ollen funktiolla on kohdassa 1 raja-arvo 2.

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 ⇒ määrittelemätön ⇐ 2.001 2.010 2.100

Tarkka määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiolla f on raja-arvo pisteessä c, jos sen arvot f(x) ovat likimain samat, kun x on lähellä arvoa c, sitä tarkemmin, mitä lähempänä. Raja-arvo määritellään täsmällisemmin näin: reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla f on raja-arvo L pisteessä c, jos kaikilla \epsilon>0 on olemassa \delta>0 siten, että

|f(x)-L|<\epsilon, aina kun 0<|x-c|<\delta.

Tämän voi vielä formaalimmin kirjoittaa seuraavasti:

(\forall {\epsilon>0}) \, (\exists {\delta>0}) : 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon,

Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä merkitään

 \lim_{x \to c}f(x) = L (luetaan f(x):n raja-arvo, kun x lähestyy c:tä, on L)

tai

 f(x) \to L , kun x \to c (luetaan f(x) lähestyy L:ää, kun x lähestyy c:tä)

Esimerkiksi funktion f(x)=2x raja-arvo pisteessä 3 on 6 (f(x)=2x lähestyy lukua 6, kun x lähestyy lukua 3.

Raja-arvon määritelmä on mielekäs, jos funktio on määritelty ainakin jossakin pisteessä jokaisessa pisteen c ympäristössä, ja määritelmiä tulisi tarkkaan ottaen vielä täydentää vaatimuksella, joka koskee x:n kuulumista funktion määrittelyjoukkoon. Erityisesti raja-arvon määritelmä ei edellytä, että f(c) olisi olemassa. Esimerkiksi nimittäjän nollakohdassa funktion arvoa ei ole määritelty, mutta sillä saattaa silti olla siinä raja-arvo. Derivaatta määritelläänkin erään tällaisen raja-arvon avulla.

Raja-arvon määritelmän laajennuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tilannetta, jossa funktio f on määritelty kaikilla x>a (tai jossa kaikilla a on lukuja x>a, joilla f(x) on määritelty) ja jossa funktion arvot ovat tarpeeksi suurilla x lähellä jotain tiettyä arvoa, merkitään

\lim_{x\to\infty}f(x)=L.

Merkintä tarkoittaa, että kaikilla \epsilon>0 on olemassa m niin, että |f(x)-L|<\epsilon aina, kun x>m.

Merkintä luetaan "f(x):llä on raja-arvo L, kun x kasvaa rajatta" (tai "kun x lähestyy ääretöntä"). Vastaavalla tavalla määritellään f(x):n raja-arvo, kun "x vähenee rajatta", \lim_{x\to-\infty}f(x)=L.

Funktion f vasemman- ja oikeanpuolinen raja-arvo pisteessä c määritellään samoin kuin raja-arvo, mutta ehto 0<|x-c|<\delta korvataan ehdolla 0<c-x<\delta (vasemmanpuolinen raja-arvo) tai 0<x-c<\delta (oikeanpuoleinen raja-arvo. Vasemman- ja oikeanpuolisia raja-arvoja merkitään \lim_{x\to c-}f(x) ja \lim_{x\to c+}f(x).

Sanaa raja-arvo käytetään usein myös silloin, kun funktion f arvot f(x) kasvavat tai vähenevät rajatta, kun x lähestyy arvoa c tai kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin on tapana merkitä esimerkiksi \lim_{x\to c}f(x)=\infty (mikä tarkoittaa, että kaikilla M on olemassa \delta>0 niin, että f(x)>M, kun |x-c|<\delta) tai \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty (mikä tarkoittaa, että kaikilla M on olemassa m niin, että f(x)>M, kun x>m).

Raja-arvon ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Raja-arvo on yksikäsitteinen: funktiolla f on pisteessä c korkeintaan yksi raja-arvo. Raja-arvo (silloin kun on kyse perusmääritelmästä eikä "raja-arvosta \pm\infty") suhtautuu laskutoimituksiin vaihdannaisesti: jos esimerkiksi \lim_{x\to c} f(x)=L_1 ja \lim_{x\to c} g(x)=L_2 ja a_1,\,a_2 ovat vakioita, niin \lim_{x\to c}(a_1f(x)+a_2g(x))=a_1L_1+a_2L_2 ja \lim_{x\to c}(f(x)g(x))=L_1L_2.

Lukujonon ja sarjan raja-arvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lukujonon (x_n\,\!) raja-arvo on sellainen luku L, että kaikilla \epsilon >0 on olemassa n_0\in \mathbb{N} siten, että |x_n-L|<\epsilon, kun n>n_0. Sitä, että lukujonon (x_n)\,\! raja-arvo on L, merkitään

\lim_{n\to\infty}x_n = L .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun n kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

(1-0{,}1^n) = 0{,}9; 0{,}99; 0{,}999..., 1-0{,}1^n;... \,\!

Sen raja-arvo on 1 eli \lim(1-0,1^n) = 1 .

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

  • 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{10000} + ... = 1,11111... = 1 \frac{1}{9}

ja

  • 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... = 2

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi

  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... ,
  • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...

ja

  • 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ....

Sarja x1 + x2 + x3 + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli \lim(x_n) = 0. On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ....

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
  • Suppeneva jono on aina rajoitettu
  • Jos \lim_{n\to\infty}x_n = a ja \lim_{n\to\infty}y_n = b

Tällöin pätee

  1. \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n) = a + b .
  2. \lim_{n\to\infty}(rx_n) = ra . r\in\mathbb{R}
  3. \lim_{n\to\infty}(x_ny_n) = ab
  4. \lim_{n\to\infty}(x_n/y_n) = a/b

Lisäesimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

 \lim_{x \to 4} {{x-4} \over {2- \sqrt x}} = \lim_{x \to 4} {{(\sqrt x - 2)}{(\sqrt x + 2)} \over {2- \sqrt x}} = \lim_{x \to 4} {[-(\sqrt x + 2)]} = -4 [1]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet
  1. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, s. 14, tehtävä 3. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.