Raja-arvo

Wikipedia

Matematiikassa raja-arvo kuvaa funktion käyttäytymistä, kun sen muuttuja lähestyy tiettyä pistettä tai ääretöntä, tai lukujonon käyttäytymistä, kun sen indeksi lähestyy ääretöntä. Raja-arvoa käytetään matemaattisessa analyysissä määrittämään jatkuvuutta, integroituvuutta ja derivoituvuutta.

[muokkaa] Funktion raja-arvo

Funktiolla $f$ on raja-arvo pisteessä $c$ , jos sen arvot $f (x)$ ovat likimain samat, kun $x$ on lähellä arvoa $c$ , sitä tarkemmin, mitä lähempänä. Raja-arvo määritellään täsmällisemmin näin: Reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ pisteessä $c$ , jos kaikilla $ε > 0$ on olemassa $δ > 0$ siten, että

| f (x) - L | < ε

, aina kun

0 < | x - c | < δ

.

Tämän voi vielä formaalimmin kirjoittaa seuraavasti:

$\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$ ,

Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä merkitään

$\lim_{x \to c}f(x) = L$ (luetaan $f (x)$ :n raja-arvo, kun $x$ lähestyy $c$ :tä, on $L$ )

tai

$f(x) \to L$ , kun $x \to c$ (luetaan $f (x)$ lähestyy $L$ :ää, kun $x$ lähestyy $c$ :tä)

Esimerkiksi funktion $f (x) = 2 x$ raja-arvo pisteessä $3$ on 6 ( $f (x) = 2 x$ lähestyy lukua 6, kun $x$ lähestyy lukua 3.

Raja-arvon määritelmä on mielekäs, jos funktio on määritelty ainakin jossakin pisteessä jokaisessa pisteen $c$ ympäristössä ja määritelmiä tulisi tarkkaan ottaen vielä täydentää vaatimuksella, joka koskee $x$ :n kuulumista funktion määrittelyjoukkoon. Erityisesti raja-arvon määritelmä ei edellytä, että $f (c)$ olisi olemassa. Esimerkiksi nimittäjän nollakohdassa funktion arvoa ei ole määritelty, mutta sillä saattaa silti tässä olla siinä raja-arvo. Derivaatta määritelläänkin erään tällaisen raja-arvon avulla.

[muokkaa] Raja-arvon määritelmän laajennuksia

Tilannetta, jossa funktio $f$ on määritelty kaikilla $x > a$ (tai jossa kaikilla $a$ on lukua $x > a$ , joilla $f (x)$ on määritelty) ja jossa funktion arvot ovat tarpeeksi suurilla $x$ lähellä jotain tiettyä arvoa, merkitään

$\lim_{x\to\infty}f(x)=L.$

Merkintä tarkoittaa, että kaikilla $ε > 0$ on olemassa $m$ niin, että $| f (x) - L | < ε$ aina, kun $x > m$ .

Merkintä luetaan " $f (x)$ :llä on raja-arvo $L$ , kun $x$ kasvaa rajatta" (tai "kun $x$ lähestyy ääretöntä"). Vastaavalla tavalla määritellään $f (x)$ :n raja-arvo, kun " $x$ vähenee rajatta", $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$ .

Funktion $f$ vasemman- ja oikeanpuolinen raja-arvo pisteessä $c$ määritellään samoin kuin raja-arvo, mutta ehto $0 < | x - c | < δ$ korvataan ehdolla $0 < c - x < δ$ (vasemmanpuolinen raja-arvo) tai $0 < x - c < δ$ (oikeanpuoleinen raja-arvo. Vasemman- ja oikeanpuolisia raja-arvoja merkitään $\lim_{x\to c-}f(x)$ ja $\lim_{x\to c+}f(x)$ .

Sanaa raja-arvo käytetään usein myös silloin, kun funktion $f$ arvot $f (x)$ kasvavat tai vähenevät rajatta, kun $x$ lähestyy arvoa $c$ tai kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin on tapana merkitä esimerkiksi $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ (mikä tarkoittaa, että kaikilla $M$ on olemassa $δ > 0$ niin, että $f (x) > M$ , kun $| x - c | < δ$ ) tai $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ (mikä tarkokittaa, että kaikilla $M$ on olemassa $m$ niin, että $f (x) > M$ , kun $x > m$ ).

[muokkaa] Raja-arvon ominaisuuksia

Raja-arvo on yksikäsitteinen: funktiolla $f$ on pisteessä $c$ korkeintaan yksi raja-arvo. Raja-arvo (silloin kun on kyse perusmaaritelmästä eikä "raja-arvosta $\pm\infty$ ") suhtautuu laskutoimituksiin vaihdannaisesti: jos esimerkiksi $\lim_{x\to c} f(x)=L_1$ ja $\lim_{x\to c} g(x)=L_2$ ja $a_1,\,a_2$ ovat vakioita, niin $\lim_{x\to c}(a_1f(x)+a_2g(x))=a_1L_1+a_2L_2$ ja $\lim_{x\to c}(f(x)g(x))=L_1L_2$ .

[muokkaa] Lukujonon ja sarjan raja-arvo

Lukujonon $(x_n\,\!)$ raja-arvo on sellainen luku $L$ , että kaikilla $ε > 0$ on olemassa $n_0\in \mathbb{N}$ siten, että $| x n - L | < ε$ , kun $n > n 0$ . Sitä, että lukujonon $(x_n)\,\!$ raja-arvo on $L$ , merkitään

$\lim_{n\to\infty}x_n = L$ .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun $n$ kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

$(1-0.1^n) = 0,9; 0,99; 0,999..., 1-0,1^n;... \,\!$

Sen raja-arvo on 1 eli $\lim(1-0.1^n) = 1$ .

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

$1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{1}{10000} + ... = 1,11111 = 1 \frac{1}{9}$

ja

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... = 2$

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...$ ,
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...$

ja

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...$ .

Sarja x₁ + x₂ + x₃ + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli $\lim(x_n) = 0$ . On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja