Suppeneva sarja

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä

Määritelmä

Sarja $\sum_{k=1}^\infty x_{k}=x_1+x_2+...$ suppenee, jos sen osasummien jono $\left( S_{n}\right) =\left( S_{n}\right) _{n\in\N}$ suppenee, ts. jos $\exists S\in\R$ s.e. $\lim \limits_{n \to \infty}S_{n}=S$. Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

$\sum_{k=1}^\infty x_{k}=x_1+x_2+...=S$

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita

Lause 1.

Jos $\sum_{k=1}^\infty x_{k}$ suppenee, niin $\lim \limits_{k \to \infty} x_k=0$

Lause 2.

Suppenevalle sarjalle erotusta

$R_n=S-S_n$

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.

Suppenevalle sarjalle $\lim \limits_{n \to \infty} R_n=0$

Lause 4.

Jos $\sum_{k=1}^\infty x_{k}=X$ ja $\sum_{k=1}^\infty y_{k}=Y$, sekä $a\in\R$, niin

$a) \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k)=X+Y$

$b) \sum_{k=1}^\infty ax_{k}=aX$

Lause 5.

Jos sarja $\sum_{k=1}^\infty x_{k}$ suppenee ja sarja $\sum_{k=1}^\infty y_{k}$ hajaantuu, niin summasarja $\sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k)$ hajaantuu. Jos molemmat sarjat $\sum_{k=1}^\infty x_{k}$ ja $\sum_{k=1}^\infty y_{k}$ hajaantuvat, niin niiden summasarja $\sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k)$ voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille

Sarja $\sum_{k=1}^\infty x_{k}$ suppenee $\Longleftrightarrow \varepsilon>0$ kohti $\exists n_{\varepsilon>0} \in\N$ s.e.

$\vert x_{n+1}+ x_{n+2}+ x_{n+3}+...+x_{n+p} \vert <\varepsilon$

kaikilla $p\in\N$ aina kun $n>n_{\varepsilon}$

Itseisesti suppeneva sarja

Määritelmä

sarja $\sum_{k=1}^\infty x_{k}$ suppenee itseisesti, jos sarja $\sum_{k=1}^\infty \vert x_{k} \vert$ suppenee.

Lause 7.

Jos $\sum_{k=1}^\infty \vert x_{k} \vert$ suppenee itseisesti, niin $\sum_{k=1}^\infty x_{k}$ suppenee. Tällöin sarjoille pätee

$\vert \sum_{k=1}^\infty x_{k} \vert \leqslant \sum_{k=1}^\infty |x_{k}|$

Lähteet

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2