Suppeneva sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja  \sum_{k=1}^\infty x_{k}=x_1+x_2+... suppenee, jos sen osasummien jono  \left(   S_{n}\right)  =\left(   S_{n}\right)    _{n\in\N} suppenee, ts. jos  \exists S\in\R s.e.  \lim \limits_{n \to \infty}S_{n}=S . Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

\sum_{k=1}^\infty x_{k}=x_1+x_2+...=S

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lause 1.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos  \sum_{k=1}^\infty x_{k}  suppenee, niin  \lim \limits_{k \to \infty} x_k=0

Lause 2.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppenevalle sarjalle erotusta

 R_n=S-S_n

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suppenevalle sarjalle  \lim \limits_{n \to \infty} R_n=0

Lause 4.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos  \sum_{k=1}^\infty x_{k}=X ja  \sum_{k=1}^\infty y_{k}=Y , sekä  a\in\R , niin

a) \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k)=X+Y
b) \sum_{k=1}^\infty ax_{k}=aX

Lause 5.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos sarja  \sum_{k=1}^\infty x_{k} suppenee ja sarja  \sum_{k=1}^\infty y_{k} hajaantuu, niin summasarja  \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k) hajaantuu. Jos molemmat sarjat  \sum_{k=1}^\infty x_{k} ja  \sum_{k=1}^\infty y_{k} hajaantuvat, niin niiden summasarja  \sum_{k=1}^\infty (x_{k}+y_k) voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja  \sum_{k=1}^\infty x_{k} suppenee  \Longleftrightarrow \varepsilon>0 kohti  \exists n_{\varepsilon>0} \in\N s.e.

 \vert x_{n+1}+ x_{n+2}+ x_{n+3}+...+x_{n+p} \vert <\varepsilon

kaikilla  p\in\N aina kun  n>n_{\varepsilon}

Itseisesti suppeneva sarja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

sarja  \sum_{k=1}^\infty x_{k} suppenee itseisesti, jos sarja  \sum_{k=1}^\infty \vert x_{k} \vert suppenee.

Lause 7.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos  \sum_{k=1}^\infty \vert x_{k} \vert suppenee itseisesti, niin  \sum_{k=1}^\infty x_{k} suppenee. Tällöin sarjoille pätee

 \vert \sum_{k=1}^\infty x_{k} \vert \leqslant \sum_{k=1}^\infty |x_{k}|

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2