Sarja (matematiikka)

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki

Voidaan päätellä, että $0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + ... = 0{,}333... = \frac{1}{3}.$

Tämän sarjan osasummien jonolla

$(0{,}3; 0{,}3 + 0{,}03; 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003;...) = (0{,}3; 0{,}33; 0{,}333; ...)\!$

on raja-arvo $\frac{1}{3}.$

Esimerkki

Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista

identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.

Näin on todettu, että

$1 = {1\over2} + {1\over4} + {1\over8} + {1\over16} + ...$

Sarjan $\sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_1+a_2+...+a_n+...$ osasummia ovat
$S_1=a_1$
$S_2=a_1+a_2$
$S_3=a_1+a_2+a_3$
$...$
$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$
$...$

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
$S=\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k.$

• Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
• Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarja

Sarja $\sum_{}^{} x_n$ on aritmeettinen, jos lukujono $x_n$ on muotoa $(x_1 + (n - 1)d)$ eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio $d$.

Sarja $\sum_{}^{} x_n$ on geometrinen, jos lukujono $x_n$ on muotoa $(x_1 q^{n-1})$ eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio $q$.

Kaavoja ja sääntöjä

1. Sarja $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ hajaantuu, jos
   • $\lim_{k \to \infty} a_k \ne 0$ tai
   • $\lim_{k \to \infty} a_k$ ei ole olemassa.
2. Aliharmoninen sarja $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}, 0<p<1$ hajaantuu.
3. Harmoninen sarja $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ hajaantuu.
4. Yliharmoninen sarja $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}, p>1$ suppenee.
5. Geometrinen sarja $\sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1}$ suppenee, kun $|q|<1$ tai $a_1=0$.
   • Tällöin $\sum_{k=1}^{\infty} a_1 q^{k-1}=\frac{a_1}{1-q}.$

Esimerkkejä

Määritetään sarjan $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{9}{2^k}$ summa.

Osasumma $S_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{9}{2^k}=9\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k$
Summa on geometrinen summa; $a_1=1, q=\frac{1}{2}$, termejä $n+1$.
$S_n=9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$.

$\lim_{n \to \infty} S_n=\lim_{n \to \infty} 9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} =9\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\infty}}{\frac{1}{2}}=9\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}=18$

Sarjakehitelmä

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.